Obratna (inverzna) matrika (I)

Irina Cristea; Hashem Bordbar; Alessandro Linzi

2 Obratna (inverzna) matrika (I)

Definicija 2.1: Naj bo $A$ kvadratna matrika reda $n$ . Inverzna matrika (obratna matrika ali inverz) matrike $A$ (oznaka $A^{-1}$ ) je takšna matrika, za katero velja $A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I_n$ . Če obstaja inverzna matrika, je $A$ obrnljiva matrika.

Ena matrika ima lahko kvečjemu en inverz in ničelna matrika seveda nima inverza.

Primer 2.1: Naj bo $A= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ in $B=\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ . Izračunamo produkt

$\begin{equation*} A\cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-3 & -6+6\\ 2-2 & -3+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I_2. \end{equation*}$

Podobno je $B\cdot A=I_2$ . Torej, matriki $A$ in $B$ sta obrnljivi in $B$ je inverz matrike $A$ , tj. $B = A^{-1}$ , in $A$ je inverz matrike $B$ , tj. $A = B^{-1}$ .

Lastnosti inverzne matrike: Naj bosta $A$ in $B$ obrnljivi matriki reda $n$ ter $\alpha$ skalar. Potem velja:

$I_n^{-1}=I_n$ ;
$(A ^{-1})^{-1} = A$ ;
$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ ;
$(\alpha \cdot A)^{-1} = \dfrac{1}{\alpha} \cdot A^{-1}$ ;
$(A^T)^{-1} = ( A^{-1})^T$ .

V razdelku 4. bomo predstavili, kako izračunamo inverz matrike.

2 Obratna (inverzna) matrika (I)

License

Share This Book