Asimptotične vrednosti / Asimptote

Irina Cristea; Hashem Bordbar; Alessandro Linzi

11 Asimptotične vrednosti / Asimptote

Definicija 11.1:

Kadar je $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = L \in \mathbb{R}$ ali $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = L \in \mathbb{R}$ , pravimo, da je premica $y = L$ vodoravna asimptota funkcije $f.$ Graf funkcije $f$ se približuje vodoravni premici $y=L$ .
Kadar je $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm \infty$ ali $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm \infty$ , pravimo, da je premica $x=x_0$ navpična asimptota funkcije $f$ . Graf funkcije $f$ se približuje navpični premici $x = x_0$ .
Kadar je $\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty$ $\boxed{in}$ $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = m \in \mathbb{R}$ $\boxed{in}$ $\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - mx] = q \in \mathbb{R}$ , pravimo, da je premica $y = mx+q$ poševna asimptota funkcije $f$ .

Primer 11.1: Poiščimo vse asimptote funkcije $f$ , podane s predpisom

$f(x) = \frac{(1-x)^3}{(1+x)^2}= \frac{1-3x+3x^2-x^3}{1+2x+x^2}.$

Najprej preverimo, ali ima funkcija vodoravne asimptote. Izračunajmo vrednost limite:

$\displaystyle\lim_{x \to+\infty} f(x) = \lim_{x \to+\infty} \frac{1-3x+3x^2-x^3}{1+2x+x^2}$

$=\displaystyle\lim_{x \to+\infty} \frac{x^3\cdot \left(\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{3}{x}-1\right)}{x^2 \cdot\left(1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)}$

$=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(-x)=-\infty.$

Podobno tudi dobimo, da je $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty}(-x)=+\infty.$ To pomeni, da funkcija pri $\pm \infty$ nima vodoravnih asimptot, lahko pa ima poševne asimptote. Računajmo:

$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1-3x+3x^2-x^3}{x\cdot(1+2x+x^2)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-x^3}{x^3}=-1= m\in\mathbb{R},$

$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}[f(x)-mx)]&=\lim_{x \to \pm\infty}\left(\frac{1-3x+3x^2-x^3}{1+2x+x^2}+x\right)$

$=\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{1-3x+3x^2-x^3 +x +2x^2 + x^3}{1+2x+x^2}$

$=\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\frac{5x^2-2x +1}{x^2+2x+1}$

$=5=q\in\mathbb{R}.$

Torej, premica $y = mx+q=-x+5$ je poševna asimptota funkcije $f$ .

Dana funkcija je racionalna, ničle imenovalca so torej poli funkcije. Ker je $(1+x)^2=0\iff x= -1$ , to pomeni, da je točka $x=-1$ pol funkcije $f$ . V tej točki izračunamo levo in desno limito in dobimo:

$\lim_{x \to -1^-} f(x) =\lim_{x \to -1^-} \frac{(1-x)^3}{(1+x)^2}= \frac{(1-(-1))^3}{(1+(-1^-))^2} = \frac{8}{(0^-)^2}=\frac{8}{0^+} = +\infty,$

$\lim_{x \to -1^+} f(x) =\lim_{x \to -1^+} \frac{(1-x)^3}{(1+x)^2}= \frac{(1-(-1))^3}{(1+(-1^+))^2} = \frac{8}{(0^+)^2}= \frac{8}{0^+} = +\infty.$

Torej, premica $x = -1$ je navpična asimptota dane funkcije.

Graf te funkcije na intervalu $(-1, +\infty)$ je na sliki 11.1.

Slika 11.1: Graf funkcije $f(x) = \frac{(1-x)^3}{(1+x)^2}$ na intervalu $(-1, +\infty)$ .

Slika 11.1: Graf funkcije $f(x) = \frac{(1-x)^3}{(1+x)^2}$ na intervalu $(-1, +\infty)$ .

11 Asimptotične vrednosti / Asimptote

License

Share This Book