Definicija in geometrijski pomen odvoda

Irina Cristea; Hashem Bordbar; Alessandro Linzi

14 Definicija in geometrijski pomen odvoda

Naj bo funkcija $f: I \longrightarrow \mathbb{R}$ definirana na intervalu $I$ . Naj bo $x$ notranja točka intervala $I$ . Radi bi razumeli, kako hitro se spreminja vrednost $f(x)$ glede na vrednost točke $x$ .

Izraz $\dfrac{f(x+h) - f(x)}{x+h-x}$ imenujemo diferenčni kvocient in je enak naklonskemu koeficientu premice skozi točki $T_0 (x, f(x))$ in $T_1(x+h, f(x+h))$ .

Slika 14.1: Geometrijski pomen odvoda: $\tan \alpha = f'(x)$ .

Slika 14.1: Geometrijski pomen odvoda: $\tan \alpha = f'(x)$ .

Definicija 14.1: Funkcija $f$ je odvedljiva v točki $x \in I$ , če obstaja limita

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

Vrednost te limite označimo z $f'(x)$ in jo imenujemo odvod funkcije f v točki $x$ . Rečemo, da je funkcija $f$ odvedljiva na intervalu $I$ , če je odvedljiva v vsaki njegovi točki.

Primer 14.1: Z uporabo definicije poiščite odvod funkcije $f$ .

$f(x) = x^2$ .
Po definiciji izračunamo:
$\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}\\ &= \lim_{h \to 0} \frac{x^2+2xh+h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x+h) = 2x. \end{align*}$
To pomeni, da je $(x^2)'=2x$ .
$f(x)=\sqrt{x}$ .
Izračunamo:

$\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} +\sqrt{x}}{\sqrt{x+h} +\sqrt{x}}\\ &= \lim_{h \to 0} \frac{x+h-x}{h\cdot (\sqrt{x+h} +\sqrt{x})}\\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{ (\sqrt{x+h} +\sqrt{x})}\\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}}. \end{align*}$

Torej smo ugotovili, da je $(\sqrt{x})'= \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Primer 14.2: Ali je funkcija $f(x) = \lvert x \rvert$ odvedljiva v točki $0$ ?

Ker je $f(x) = \lvert x \rvert=\begin{cases} x, & \mbox{če je}\ \ x\geq 0,\\ -x, &\mbox{če je}\ \ x<0,\end{cases}$ moramo izračunati levo in desno limito v točki $0$ :

$\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\mid h \mid - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$

in podobno

$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\mid h \mid - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = +1.$

Ker desni in levi limiti nista enaki, sklepamo, da ne obstaja $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}$ , to pomeni, da ne obstaja $f'(0)$ .

Definicija 14.2: Naj bo funkcija $f: I \longrightarrow \mathbb{R}$ definirana na intervalu $I$ .

Če obstaja $\displaystyle\lim_{h \to 0^-} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ , pravimo, da je funkcija $f$ z leve odvedljiva v točki $x$ , in vrednost te limite označimo z $f'_L (x)$ . Funkcijo $f'_L$ imenujemo levi odvod funkcije $f$ .
Če obstaja $\displaystyle\lim_{h \to 0^+} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ , pravimo, da je funkcija $f$ z desne odvedljiva v točki $x$ , in vrednost te limite označimo z $f'_D (x)$ . Funkcijo $f'_D$ Imenujemo desni odvod funkcije $f$ .

Izrek 14.1 [10]: Funkcija $f:I \longrightarrow \mathbb{R}$ je odvedljiva v točki $x \in I$ natanko tedaj, ko je v tej točki odvedljiva z leve in z desne in sta levi in desni odvod v tej točki enaka.

Izrek 14.2 [10]: Če je funkcija $f:I \longrightarrow \mathbb{R}$ v točki $x \in I$ odvedljiva, je v tej točki tudi zvezna.

Geometrijski pomen odvoda

Naj bo zvezna funkcija $f: I \longrightarrow \mathbb{R}$ definirana na intervalu $I$ . Premica skozi točki $T_0$ in $T_1$ na sliki 14.1 se imenuje sekanta. Ko se $h$ približuje vrednosti $0$ , se točka $T_1$ približuje točki $T_0$ . Sekanto v limitni legi imenujemo tangenta na krivuljo v točki $T_0(x, f(x)).$

Tangenta na graf funkcije $f$ v točki $T_0$ s pozitivnim poltrakom abscisne osi oklepa kot $\alpha$ in

$\tan \alpha = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x).$

Enačba tangente na graf funkcije v točki $x_0$ je

$y - f(x_0) = f'(x_0) (x-x_0).$

14 Definicija in geometrijski pomen odvoda

License

Share This Book