Lastne vrednosti in lastni vektorji

Irina Cristea; Hashem Bordbar; Alessandro Linzi

6 Lastne vrednosti in lastni vektorji

Ta dva koncepta veljata samo za kvadratne matrike.

Definicija 6.1: Naj bo dana kvadratna matrika $A \in M_{n \times n} (\mathbb{R})$ . Realno število $\lambda$ imenujemo lastna vrednost za $A$ , če obstaja tak neničelni vektor $v \in \mathbb{R}^n$ , da je

$A \cdot v = \lambda \cdot v.$

Vektor $v$ imenujemo lastni vektor matrike $A$ pri lastni vrednosti $\lambda$ .

Enačbo $A\cdot v=\lambda\cdot v$ lahko zapišemo v obliki $(A-\lambda I_n)\cdot v=0$ , kjer je desna stran ničelni vektor $0$ v $\mathbb{R}^n$ in $v\neq 0$ . To je homogeni sistem z neničelno rešitvijo, kar pomeni, da je $\det(A - \lambda \cdot I_n) = 0$ . Polinom $p_A(\lambda)=\det(A - \lambda \cdot I_n)$ imenujemo karakteristični polinom matrike $A$ (v spremenljivki $\lambda$ ).

Izrek 6.1 [4,6]: Realno število $\lambda$ je lastna vrednost matrike $A$ natanko tedaj, ko je $\lambda$ ničla karakterističnega polinoma $p_A(\lambda)$ .

Primer 6.1: Poiščimo lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 6 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.$

Ta matrika ima zgornjetrikotno obliko in njen karakteristični polinom je

$p_A(\lambda)=\det(A - \lambda \cdot I_3) = \det \left[ \begin{pmatrix} 2 & 5 & 6 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}\right] =$

$\begin{vmatrix} 2-\lambda & 5 & 6 \\ 0 & -3-\lambda & 2 \\ 0 & 0 & 5-\lambda \end{vmatrix},$

ki je produkt elementov na diagonali, torej je

$p_A(\lambda)= (2 - \lambda)\cdot(-3-\lambda) \cdot(5 - \lambda).$

Ničle tega polinoma so $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -3, \lambda_3 = 5$ in te so tudi lastne vrednosti matrike $A$ .

Za prvo lastno vrednost $\lambda_1 = 2$ izračunamo pripadajoči lastni vektor $v$ , ki zadošča enačbi $(A-2\cdot I_3)\cdot v=0$ . Ker je $v\in \mathbb{R}^3$ , lahko zapišemo $v= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ in dobimo matrično enačbo

$\begin{pmatrix} 0 & 5 & 6 \\ 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$

Iz tega dobimo homogeni sistem

$\begin{equation*} \begin{cases} 5y + 6z= 0 \\ -5y + 2z = 0 \\ 3z = 0 \end{cases}, \end{equation*}$

ki ima rešitev $y = 0, z=0$ in $x$ je poljubno realno število. Tako sklepamo, da je $v= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= x\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Izberemo lahko npr. vektor $v_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ . Upoštevajte, da to pri $\lambda_1=2$ ni edinstven lastni vektor, pač pa obstaja družina takšnih vektorjev, ki so vsi večkratniki vektorja $v_1$ .

Zdaj ponovimo postopek za lastno vrednost $\lambda_2=-3$ . V matriki $A-\lambda\cdot I_3$ nadomestimo $\lambda$ z vrednostjo $-3$ in jo potem pomnožimo s stolpcem $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.$ Tako dobimo matrično enačbo

$\begin{pmatrix} 5 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},$

ki je ekvivalentna homogenemu sistemu

$\begin{equation*} \begin{cases} 5x+5y + 6z= 0 \\ 2z = 0 \\ 8z = 0 \end{cases}. \end{equation*}$

Sledi, da je $z=0$ in $x=-y$ (ali $y=-x$ ). Torej je $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -y \\ y \\ 0 \end{pmatrix}=y\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.$ Zato lahko izberemo lastni vektor pri $\lambda_2=-3$ , npr. vektor $v_2= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ .

Na koncu poiščemo še lastni vektor pri $\lambda_3=5$ . V matriki $A-\lambda\cdot I_3$ nadomestimo $\lambda$ s $5$ :

$\begin{pmatrix} -3 & 5 & 6 \\ 0 & -8 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$

Pripadajoči homogeni sistem je

$\begin{equation*} \begin{cases} -3x+5y + 6z= 0 \\ -8y+2z = 0 \end{cases}. \end{equation*}$

Ker je $rang(A-5\cdot I_3)=2$ , sledi, da je pripadajoči sistem rešljiv in je rešitev odvisna od enega parametra. Iz enačbe $-8y+2z=0$ dobimo $z=4y$ , z $y\in\mathbb{R}.$ Potem izračunamo $x=\dfrac{29}{3}y$ in $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{29}{3}y \\ y \\ 4y \end{pmatrix}=\dfrac{y}{3}\cdot \begin{pmatrix} 29\\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}.$ Zato izberemo lastni vektor pri $\lambda_3=5$ , npr. vektor $v_3= \begin{pmatrix} 29 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}$ .

Opomba. Za izračun lastnih vrednosti dane matrike ne moremo uporabiti Gaussove eliminacijske metode. Če to metodo uporabimo za pretvorbo matrike $A$ v zgornje trikotno matriko $U$ , so lastne vrednosti matrike $U$ lahko drugačne od lastnih vrednosti matrike $A$ .

Definicija 6.2: Naj bo $\lambda$ lastna vrednost za matriko $A \in M_{n \times n} (\mathbb{R})$ . Večkratnost $\lambda$ kot ničle karakterističnega polinoma $p_A(\lambda)$ imenujemo algebraična večkratnost lastne vrednosti $\lambda$ . Označimo jo z $a(\lambda)$ (tj. stopnja ničle $\lambda$ v polinomu $p_A(\lambda)$ ).
Poleg tega $n - rang(A-\lambda \cdot I_n)$ imenujemo geometrična večkratnost lastne vrednosti $\lambda$ , označimo jo z $g(\lambda)$ .

Na primer, če je karakteristični polinom $p_A(\lambda) = (\lambda -1)^3 \cdot (\lambda - 2) \cdot (\lambda + 5)^2$ , potem imamo $\lambda_1 = 1, a(\lambda_1) = 3$ , $\lambda_2 = 2, a(\lambda_2) = 1$ in $\lambda_3 = -5, a(\lambda_3) = 2$ .

Izrek 6.2 [4,6]:

Naj bo $A$ poljubna kvadratna matrika reda $n$ .

Vsota vseh algebraičnih večkratnosti lastnih vrednosti matrike $A$ je enaka $n$ .
Vsota vseh lastnih vrednosti matrike $A$ , štetih z njihovo večkratnostjo, je enaka vsoti vseh diagonalnih elementov matrike $A$ . Imenujemo jo sled matrike in jo označimo $sl(A)$ .
Vedno velja $1\leq g(\lambda)\leq a(\lambda)$ .

Primer 6.2: Poiščimo lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

Karakteristični polinom te matrike je $p_A(\lambda)=\det (A-\lambda\cdot I_3)=\begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix}=(1-\lambda)^3$ . Zato je $\lambda=1$ edina lastna vrednost matrike $A$ in njena algebraična večkratnost je $a(1)=3$ . Ker pri $\lambda=1$ dobimo $A-\lambda\cdot I_3=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$ je $rang (A-\lambda I_3)=1$ in geometrična večkratnost je $g(1)=n-rang=3-1=2$ .
Pripadajoči homogeni sistem vsebuje samo eno enačbo, in to je $2y-z=0$ oziroma $z=2y$ . Sklepamo, da ima lastni vektor splošno obliko $\begin{pmatrix} x \\ y \\ 2y \end{pmatrix}=x\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+y\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ , kar pomeni, da lahko izberemo lastna vektorja $v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ in $v_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ .

Primer 6.3: Poiščimo lastne vrednosti in lastne vektorje matrike

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}.$

Začnemo s karakterističnim polinomom matrike $A$ , ki je

$p_A(\lambda)=\begin{vmatrix} 3-\lambda & 2 & 4 \\ 2 & -\lambda & 2\\ 4 & 2 & 3-\lambda \end{vmatrix}.$

Z razvojem po drugi vrstici dobimo
$p_A(\lambda)= 2\cdot (-1)^{2+1}\cdot \begin{vmatrix} 2& 4\\ 2& 3-\lambda\end{vmatrix}+ (-\lambda)\cdot (-1)^{2+2}\cdot \begin{vmatrix} 3-\lambda & 4\\ 4& 3-\lambda\end{vmatrix}+2\cdot (-1)^{2+3}\cdot\begin{vmatrix} 3-\lambda & 2\\ 4& 2\end{vmatrix}= -2\cdot (-2-2\lambda)-\lambda\cdot ((3-\lambda)^2-16)-2\cdot (-2-2\lambda)=-\lambda ^3+6\lambda ^2+15 \lambda +8.$

Z uporabo Hornerjevega algoritma izračunamo ničle tega polinoma:

$\begin{array}{rrrrrrrrr} &\vline&-1&&6&&15&&8\\ &\vline&&&1&&-7&&-8\\ \hline&\vline&&&&&&&\\ -1&\vline&-1&&7&&8&&0 \end{array}$

Ponovimo algoritem in dobimo

$\begin{array}{rrrrrrr} &\vline&-1&&7&&8\\ &\vline&&&1&&-8\\ \hline&\vline&&&&&\\ -1&\vline&-1&&8&&0 \end{array}$

Zdaj lahko zapišemo $p_A(\lambda)=(\lambda+1)^2\cdot (-\lambda+8)$ . Torej, lastni vrednosti dane matrike sta: $\lambda_1=-1$ z $a(-1)=2$ in $\lambda_2=8$ z $a(8)=1$ .

Izračunamo rang matrike $A-\lambda\cdot I_3$ pri vrednostih $\lambda_1=-1$ in $\lambda_2=8$ . Da bi to naredili, matriko $A-\lambda\cdot I_3$ preoblikujemo v vrstično kanonično obliko.

$A-\lambda_1\cdot I_3=A+I_3= \begin{pmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 4 \end{pmatrix}\overset{V_1:2}{\underset{V_3:2}{\sim}} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}\overset{V_2-V_1}{\underset{V_3-V_1}{\sim}} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},$

torej je $rang(A+I_3)=1$ in geometrična večkratnost lastne vrednosti $\lambda_1=-1$ je $g(-1)=n-rang=3-1=2.$ Pripadajoči lastni vektor $v=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ zadošča enačbi

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},$

ki je ekvivalentna enačbi $2x+y + 2z= 0$ , iz katere sledi, da je $y=-2x-2z$ . Torej, lastni vektorji pri $\lambda_1=-1$ so oblike $\begin{pmatrix} x \\ -2x-2z \\ z \end{pmatrix}=x\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+z\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ in lahko izberemo npr. $v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$ in $v_2=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Enak postopek ponovimo za lastno vrednost $\lambda_2=8$ .

$A-\lambda_2\cdot I_3=A-8\cdot I_3= \begin{pmatrix} -5 & 2 & 4 \\ 2 & -8 & 2 \\ 4 & 2 & -5 \end{pmatrix}\overset{V_2:2}{\sim} \begin{pmatrix} -5 & 2 & 4 \\ 1 & -4 & 1 \\ 4 & 2 & -5 \end{pmatrix}\overset{V_1\leftrightarrow V_2}{\sim}$

$\begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 \\ -5 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & -5 \end{pmatrix}\overset{V_2+5V_1}{\underset{V_3-4V_1}{\sim}} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 0 & -18 & 9 \\ 0 & 18 & -9 \end{pmatrix}\overset{V_3+ V_2}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 0 & -18 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

Sledi, da je $rang(A-\lambda_2\cdot I_3)=2$ , in zato geometrična večkratnost lastne vrednosti $\lambda_2=8$ je $g(8)=n-rang=3-2=1.$ Lastni vektor pri $\lambda_2=8$ zadošča enačbi

$\begin{pmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 0 & -18 & 9 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

oziroma zadošča sistemu

$\begin{equation*} \begin{cases} x-4y + z= 0 \\ -18y+9z = 0 \end{cases}, \end{equation*}$

ki ima rešitev $x=2y$ , $z=2y$ , kjer je $y$ poljubno realno število. Torej ima lastni vektor pri $\lambda_2=8$ splošno obliko $v=\begin{pmatrix} 2y \\ y \\ 2y \end{pmatrix}=y \cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ in izberemo npr. $v_3=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}.$

Lastnosti [4,6]:

lastne vrednosti trikotne matrike so enake diagonalnim elementom;
determinanta matrike je enaka produktu lastnih vrednosti;
če ima matrika $A$ lastno vrednost $\lambda$ in lastni vektor $v$ , potem
ima inverzna matrika lastno vrednost $\dfrac{1}{\lambda}$ in isti lastni vektor $v$ ;
če ima matrika $A$ lastno vrednost $\lambda$ in lastni vektor $v$ , potem
ima matrika $A^k$ lastno vrednost $\lambda^k$ in isti lastni vektor $v$ .

6 Lastne vrednosti in lastni vektorji

License

Share This Book