Vektorji v prostoru

Irina Cristea; Hashem Bordbar; Alessandro Linzi

7 Vektorji v prostoru

Poglavje obravnava geometrijske vektorje v prostoru $\mathbb{R}^3$ .

Definicija in osnove operacije

Definicija 7.1: Geometrijski vektor v $\mathbb{R}^3$ je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo začetno in končno točko $A$ in $B$ . Označimo ga z $\vv{AB}.$ Dolžina vektorja ali absolutna vrednost ali norma vektorja (oznaka $\norm{ \vv{AB}}$ ) je enaka razdalji med točkama $A$ in $B$ .
Dva vektorja sta enaka, če imata isto dolžino in isto smer.

1) Seštevanje vektorjev

Naj bosta $\vec{u}$ in $\vec{v}$ poljubna vektorja. Vektorja $\vec{u}$ in $\vec{v}$ lahko premaknemo tako, da konec vektorja $\vec{u}$ sovpada z začetkom vektorja $\vec{v}$ . Potem je vektor $\vv{u+v}=\vec{u}+ \vec{v}$ usmerjena daljica od začetka vektorja $\vec{u}$ do konca vektorja $\vec{v}$ . Ta metoda seštevanja je prikazana na sliki 7.1.

Če imata vektorja $\vec{u}$ in $\vec{v}$ skupno začetno točko, je njuna vsota $\vec{u}+\vec{v}$ velika diagonala paralelograma, ki ima vektorja $\vec{u}$ in $\vec{v}$ za stranici (glej sliko 7.2).

Slika 7.2: Seštevanje vektorjev s skupno začetno točko.

Vektor, ki se začne in konča v isti točki, imenujemo ničelni vektor $\vec{0}$ . Velja:

$\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ ;
$(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$ ;
$\vec{u}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}$ ;
$\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}$ , kjer je $-\vec{u}$ nasprotni vektor vektorja $\vec{u}$ . To pomeni: če je $\vec{u}=\vv{AB}$ , potem je $-\vec{u}=\vv{BA}$ .

Vsak vektor lahko postavimo v prostoru $\mathbb{R}^3$ tako, da je njegova začetna točka v izhodišču $O$ koordinatnega sistema. Tedaj je vektor enolično določen s svojo končno točko $T(x_0, y_0, z_0)$ in vektor $\vv{OT}=\vec{r}_T$ se imenuje krajevni vektor točke $T$ . Vektor potem predstavimo kot urejeno trojico realnih števil, zapisano v obliki stolpca $\vv{OT}=\begin{pmatrix} x_0\\ y_0\\ z_0\end{pmatrix}$ ali v obliki vrstice $\vv{OT}=(x_0, y_0, z_0)$ . V nadaljevanju bomo uporabili samo drugi zapis.

Lahko pišemo torej $\vv{OT}=(x_0, y_0, z_0)$ in $x_0, y_0, z_0$ se imenujejo komponente vektorja $\vv{OT}$ .

Če obstajata poljubna vektorja $\vec{a}=(a_1, a_2, a_3)$ in $\vec{b}=(b_1, b_2, b_3)$ , potem velja:

$\norm{\vec{a}}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ ;
nasprotni vektor je $-\vec{a}=(-a_1, -a_2, -a_3)$ ;
$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)$ .

Primer 7.1: Naj bosta vektorja $\vec{u}=(-2, 3, 0)$ in $\vec{v}=(5, 4, -1)$ .

Dobimo $\norm{\vec{u}}=\sqrt{(-2)^2+3^2+0^2}=\sqrt{13}$ , $\vec{u}+\vec{v}=(-2,3,0)+(5,4,-1)=(3,7,-1)$ ter $\vec{u}-\vec{v}=(-2,3,0)-(5,4,-1)=(-7, -1,1)$ .

2) Množenje vektorja s skalarjem

Naj bo $\lambda$ poljubno realno število. Vektor $\lambda\vec{u}$ ima dolžino $\norm{\lambda\vec{u}}=\lvert\lambda\rvert\cdot\norm{\vec{u}}$ in leži na isti premici, na kateri leži vektor $\vec{u}$ . Če je $\lambda >0$ , ima vektor $\lambda\vec{u}$ enako smer kot $\vec{u}$ . Če je $\lambda <0$ , potem ima vektor $\lambda\vec{u}$ enako smer kot $-\vec{u}$ , in če je $\lambda =0$ , je $\lambda\vec{u}$ ničelni vektor.

Lastnosti:

$\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}$ ;
$(\lambda+\mu)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{u}$ ;
$(\lambda\mu)\vec{u}=\lambda(\mu\vec{u})$ .

Za dani poljubni točki $A(a_1,a_2,a_3)$ in $B(b_1, b_2, b_3)$ zapišemo vektor $\vv{AB}$ po komponentah kot $\vv{AB}=\vv{BO}-\vv{AO}=(b_1-a_1, b_2-a_2, b_3-a_3)$ .

2. Linearna kombinacija, neodvisnost in baza

Vsak vektor $\vec{a}=(a_1, a_2, a_3)$ v $\mathbb{R}^3$ se zapiše kot izraz

$\vec{a}=(a_1, a_2, a_3)=a_1(1,0,0)+a_2(0,1,0)+a_3(0,0,1),$

kjer so $\bar{i} {=} (1,0,0), \bar{j}{=}(0,1,0), \bar{k}{=}(0,0,1)$ enotski vektorji (saj je $\norm{\bar{i}}{=}\norm{\bar{j}}{=}\norm{\bar{k}}=1$ ). Zato rečemo, da se vsak vektor $\vec{a}$ zapiše kot linearna kombinacija vektorjev $\bar{i}, \bar{j}, \bar{k}$ oziroma

$\vec{a}=a_1\bar{i}+a_2\bar{j}+a_3\bar{k}.$

Množica vektorjev $\{\bar{i}, \bar{j}, \bar{k}\}$ se imenuje standardna baza vektorskega prostora $\mathbb{R}^3$ .

Definicija 7.2: Izraz $\alpha_1\vec{u_1}+\alpha_2\vec{u_2}+\ldots+\alpha_n\vec{u_n}$ imenujemo linearna kombinacija vektorjev $\vec{u_1}, \vec{u_2}, \ldots, \vec{u_n}$ . Skalarji $\alpha_i$ se imenujejo koeficienti linearne kombinacije.
Linearna kombinacija je trivialna, če je $\alpha_1 = \alpha_2 = \ldots = \alpha_n = 0$ . Če je vsaj en $\alpha_i \neq 0$ , je linearna kombinacija vektorjev netrivialna.

Definicija 7.3: Vektorji $\vec{u_1}, \vec{u_2}, \ldots, \vec{u_n}$ so linearno neodvisni, če velja:

$\alpha_1\vec{u_1}+\alpha_2\vec{u_2}+\ldots+\alpha_n\vec{u_n}=0\Longrightarrow \alpha_1 = \alpha_2 = \ldots = \alpha_n = 0.$

Sicer pa so linearno odvisni.

Opomba 7.1:

Vektorji $\vec{u_1}, \vec{u_2}, \ldots, \vec{u_n}$ so linearno odvisni, če je eden od njih linearna kombinacija drugih. Prav zares, obstajajo skalarji $\alpha_1,\alpha_2, \ldots, \alpha_n$ (niso vsi enaki nič, torej lahko domnevamo, da je $\alpha_1\neq 0$ ) tako, da je $\alpha_1\vec{u_1}+\alpha_2\vec{u_2}+\ldots+\alpha_n\vec{u_n}=0$ . Sledi, da je

$\vec{u_1}=-\frac{\alpha_2}{\alpha_1}\vec{u_2}-\frac{\alpha_3}{\alpha_1}\vec{u_3}-\ldots-\frac{\alpha_n}{\alpha_1}\vec{u_n}=\beta_2\vec{u_2}+\beta_3\vec{u_3}+\ldots+\beta_n\vec{u_n}.$

Opomba 7.2:

Dva vektorja $\vec{u}$ in $\vec{v}$ sta linearno odvisna, če je $\vec{u}=\lambda \vec{v}$ z $\lambda\in\mathbb{R}$ . V tem primeru $\vec{u}$ in $\vec{v}$ ležita na isti premici in pravimo, da sta kolinearna.

Trije vektorji $\vec{u}, \vec{v}$ in $\vec{w}$ so linearno odvisni, če obstajata $\alpha, \beta\in\mathbb{R}$ tako, da je $\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}$ . V tem primeru trije vektorji ležijo na isti ravnini in so komplanarni.

Primer 7.2: Naj bosta dana vektorja $\vec{u}=(1,-2,3)$ in $\vec{v}=(-2,4,-6)$ . Ker je $\vec{v}=-2\vec{u}$ , sta dana vektorja linearno odvisna in tudi kolinearna.

Primer 7.3: Zapišimo vektor $\vec{d}=(8,6,4)$ kot linearno kombinacijo vektorjev $\vec{a}=(1,-2,1)$ , $\vec{b}=(3,2,1)$ in $\vec{c}=(1,0,-1)$ .

Vektor $\vec{d}$ se izraža kot linearna kombinacija vektorjev $\vec{a}, \vec{b}$ ter $\vec{c}$ , če obstajajo skalarni $\alpha, \beta, \gamma \in\mathbb{R}$ tako, da je $\vec{d}=\alpha \vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}$ .
To je ekvivalentno z

$(8,6,4){=}\alpha(1,-2,1){+}\beta(3,2,1){+}\gamma(1,0,-1){=}(\alpha{+}3\beta{+}\gamma, -2\alpha{+}2\beta, \alpha{+}\beta{-}\gamma).$

Dobimo sistem

$\begin{cases} \alpha+3\beta+\gamma=8\\ -2\alpha+2\beta=6\\ \alpha+\beta-\gamma=4\end{cases},$

ki ga rešujemo po Gaussovi eliminacijski metodi. Razširjeno matriko sistema preoblikujemo v vrstično kanonično obliko

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & \lvert &8\\ -2 & 2 & 0 & \lvert &6\\ 1 & 1 & -1 & \lvert & 4 \end{pmatrix} \overset{V_2+2V_1}{\underset{V_3-V_1}{\sim}} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & \lvert & 8\\ 0 & 8 & 2 & \lvert & 14\\ 0 & -2 & -2 & \lvert & -4 \end{pmatrix} \overset{V_3+\frac{1}{4}V_2}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & \lvert &8\\ 0 & 8 & 2 & \lvert &14\\ 0 & 0 & -3/2 & \lvert &-1/2 \end{pmatrix}.$

Pripadajoči sistem je

$\begin{cases} \alpha+3\beta+\gamma=8\\ 8\beta+2\gamma=14\\ 3\gamma=1\end{cases},$

ki ima rešitev $\alpha=\dfrac{8}{3}$ , $\beta=\dfrac{5}{3}$ in $\gamma=\dfrac{1}{3}$ . Torej se vektor $\vec{d}$ izraža kot $\vec{d}=\dfrac{8}{3}\vec{a}+\dfrac{5}{3}\vec{b}+\dfrac{1}{3}\vec{c}$ .

3. Skalarni, vektorski in mešani produkt

1) Skalarni produkt vektorjev

Definicija 7.4: Skalarni produkt vektorjev $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ in $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ je število $\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ (beremo $\vec{a}$ skalarno $\vec{b}$ ).

Primer 7.4: Za vektorja $\vec{u}=(3,-1,5)$ in $\vec{v}=(-1,0, 2)$ izračunajmo produkta. $\vec{u}\cdot \vec{v}= 3\cdot (-1)+(-1)\cdot 0+5\cdot 2=7$ in $\vec{u}\cdot \vec{u}=3^2+(-1)^2+5^2=35>0$ .

Lastnosti skalarnega produkta. Za poljubne vektorje $\vec{a}$ , $\vec{b}$ in $\vec{c}$ , velja [1]:

$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$ (simetričnost);
$(\lambda\vec{a})\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot (\lambda\vec{b})=\lambda (\vec{a}\cdot \vec{b})$ , za vse $\lambda\in\mathbb{R}$ (homogenost);
$(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$ (aditivnost);
$\vec{a}\cdot \vec{a}\geq 0$ in $\vec{a}\cdot \vec{a}= 0$ natanko tedaj, ko je $\vec{a}=\vec{0}$ (pozitivna definitnost).

Geometrijski pomen skalarnega produkta.
Norma vektorja $\vec{a}$ je definirana s predpisom $\norm{\vec{a}}=\sqrt{\vec{a}\cdot \vec{a}}$ .

Če je $\varphi$ kot med vektorjema $\vec{a}$ in $\vec{b}$ , potem je

$\cos\varphi=\displaystyle\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\norm{\vec{a}}\norm{\vec{b}}}.$

Sledi, da sta vektorja $\vec{a}$ in $\vec{b}$ med seboj pravokotna natanko tedaj, ko je $\vec{a}\cdot \vec{b}=0.$ Ničelni vektor $\vec{0}$ je pravokoten na vsak drug vektor.
Standardni bazni vektorji $\bar{i}, \bar{j}, \bar{k}$ v $\mathbb{R}^3$ so enotski in paroma pravokotni, tj. $\norm{\bar{i}}=\norm{\bar{j}}=\norm{\bar{k}}=1$ in $\bar{i}\cdot \bar{j}=\bar{j}\cdot \bar{k}=\bar{i}\cdot \bar{k}=0$ .

Primer 7.5: Poiščimo kot med vektorjema $\vec{a}=(2,-2,1)$ in $\vec{b}=(-3,0,4)$ . Ali sta linearno odvisna? Ali sta pravokotna?

Izračunamo skalarni produkt vektorjev $\vec{a}$ in $\vec{b}$ : $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot (-3)+(-2)\cdot 0+1\cdot 4=-10\neq 0$ . To pomeni, da vektorja $\vec{a}$ in $\vec{b}$ nista pravokotna. Če je $\varphi$ kot med $\vec{a}$ in $\vec{b}$ , je

$\cos\varphi=\displaystyle\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\norm{\vec{a}}\cdot\norm{\vec{b}}}=\frac{-10}{3\cdot 5}=-\frac{2}{3}.$

Vektorja $\vec{a}$ in $\vec{b}$ sta linearno odvisna, če obstaja neki $\alpha\in \mathbb{R}$ tako, da je $\vec{a}=\alpha \vec{b}$ oziroma $(2,-2,1)=\alpha (-3, 0,4) \Longleftrightarrow \begin{cases} -3\alpha=2\\ 0=-2\\ 4\alpha=1.\end{cases}$ Ker je sistem nerešljiv, sledi, da sta vektorja $\vec{a}$ in $\vec{b}$ linearno neodvisna.

2) Vektorski produkt vektorjev

Definicija 7.5: Vektorski produkt vektorjev $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ in $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ je vektor $\vec{a}\times \vec{b}$ (beremo $\vec{a}$ vektorsko $\vec{b}$ ), za katerega velja:

vektor $\vec{a}\times \vec{b}$ je pravokoten na vektorja $\vec{a}$ in $\vec{b}$ ;
ima dolžino $\norm{\vec{a}\times \vec{b}}=\norm{\vec{a}}\norm{\vec{b}}\sin\varphi$ , kjer je $\varphi$ kot med vektorjema $\vec{a}$ in $\vec{b}$ ;
če $\vec{a}$ po krajši poti zavrtimo do $\vec{b}$ , ima vektor $\vec{a}\times \vec{b}$ smer desnega vijaka.

Lastnosti vektorskega produkta. Za poljubne vektorje $\vec{a}$ , $\vec{b}$ in $\vec{c}$ , velja [1]:

$\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$ (antikomutativnost);
$(\vec{a}+\vec{b})\times \vec{c}=\vec{a}\times \vec{c}+\vec{b}\times \vec{c}$ in $\vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}$ (aditivnost);
$(\lambda\vec{a})\times \vec{b}=\vec{a}\times (\lambda\vec{b})=\lambda(\vec{a}\times\vec{b})$ , za poljubno realno število $\lambda$ (homogenost);
$(\lambda \vec{a}+\mu \vec{b})\times \vec{c}=\lambda (\vec{a}\times \vec{c})+\mu (\vec{b}\times \vec{c}$ ), za poljubni realni števili $\lambda$ in $\mu$ (linearnost);
$\vec{a}\times \vec{b}=\vec{0}$ natanko tedaj, ko sta vektorja $\vec{a}$ in $\vec{b}$ kolinearna, torej linearno odvisna; posebej velja $\vec{a}\times\vec{0}=\vec{0}$ in $\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}$ ;
$\bar{i}\times \bar{j}=-\bar{j}\times \bar{i}=\bar{k}$ ; $\bar{j}\times \bar{k}=-\bar{k}\times \bar{j}=\bar{i}$ ; $\bar{k}\times \bar{i}=-\bar{i}\times \bar{k}=\bar{j}$ ;
za vektorja $\vec{a}=(a_1, a_2, a_3)$ in $\vec{b}=(b_1, b_2, b_3)$ z razvojem determinante po prvi vrstici izračunamo
$\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix} \bar{i}& \bar{j} & \bar{k}\\ a_1 & a_2 &a_3\\ b_1 & b_2 & b_3\end{vmatrix}=(a_2b_3-a_3b_2, a_1b_3-a_3b_1, a_1b_2-a_2b_1).$

Geometrijski pomen vektorskega produkta.

Dolžina vektorskega produkta $\norm{\vec{a}\times\vec{b}}$ je enaka ploščini paralelograma, ki ga določata vektorja $\vec{a}$ in $\vec{b}$ , kar je $p=\norm{\vec{a}}\norm{\vec{b}}\sin\varphi=\norm{\vec{a}\times\vec{b}}$ , kjer je $\varphi$ kot med vektorjema $\vec{a}$ in $\vec{b}$ .

Primer 7.6: Izračunajmo vektorski produkt vektorjev $\vec{a}=(1,2,3)$ in $\vec{b}=(-1,0,2)$ .

Z razvojem determinante po prvi vrstici izračunamo

$\vec{a}\times \vec{b}=\begin{vmatrix} \bar{i}& \bar{j} & \bar{k}\\ 1 & 2 &3\\ -1 & 0 & 2\end{vmatrix}=(4, -5, 2).$

Primer 7.7: Določimo ploščino trikotnika z oglišči v točkah $A(1,2,-1)$ , $B(-1, 0,2)$ in $C(2,-1,0)$ .

Trikotnik $ABC$ je napet na vektorja $\vec{b}=\vec{AB}=(-2,-2,3)$ in $\vec{c}=\vec{AC}=(1,-3,1)$ .

Ploščina trikotnika $ABC$ je enaka polovici ploščine paralelograma, napetega na vektorja $\vec{b}$ in $\vec{c}$ , torej je
$p=\dfrac{1}{2}\norm{\vec{b}\times \vec{c}}$ . Računamo $\vec{b}\times \vec{c}=\begin{vmatrix} \bar{i}& \bar{j} & \bar{k}\\ -2 & -2 &3\\ 1 & -3 & 1\end{vmatrix}=(7, 5, 8)$ . Sledi, da je $p=\dfrac{1}{2}\sqrt{7^2+5^2+8^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{138}$ .

Primer 7.8: Vektorja $\vec{a}$ in $\vec{b}$ oklepata kot $\dfrac{\pi}{6}$ . Izračunajte ploščino paralelograma, napetega na vektorja $\vec{a}+2\vec{b}$ in $-3\vec{a}+\vec{b}$ , če je $\norm{\vec{a}}=2$ in $\norm{\vec{b}}=3$ .

Označimo s $\varphi$ kot med vektorjema $\vec{a}$ in $\vec{b}$ , tj. $\varphi=\dfrac{\pi}{6}$ . Ploščina paralelograma, napetega na vektorja $\vec{a}+2\vec{b}$ in $-3\vec{a}+\vec{b}$ , je enaka normi vektorskega produkta $(\vec{a}+2\vec{b})\times (-3\vec{a}+\vec{b})=-3\vec{a}\times \vec{a}+\vec{a}\times \vec{b}-6\vec{b}\times \vec{a}+2\vec{b}\times \vec{b}=7\vec{a}\times \vec{b}$ , ker je $\vec{a}\times \vec{a}=\vec{0}$ in $\vec{b}\times \vec{a}=-(\vec{a}\times \vec{b})$ . To pomeni, da je ploščina iskanega paralelograma enaka

$p=\norm{7\vec{a}\times \vec{b}}=7\norm{\vec{a}}\norm{\vec{b}}\sin \varphi=7\cdot 2\cdot 3\cdot \dfrac{1}{2}=21.$

3) Mešani produkt vektorjev

Definicija 7.6: Mešani produkt vektorjev $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ , $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ in $\vec{c}=(c_1, c_2, c_3)$ je število

$(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}.$

Geometrijski pomen mešanega produkta

Absolutna vrednost mešanega produkta $\lvert (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})\rvert$ je enaka prostornini (ali volumnu) paralelepipeda, napetega na vektorje $\vec{a}$ , $\vec{b}$ in $\vec{c}$ .
Sledi, da je $(\vec{a},\vec{b}, \vec{c})=0$ natanko tedaj, ko so vektorji $\vec{a}$ , $\vec{b}$ in $\vec{c}$ komplanarni.

Primer 7.9: Določimo vrednost parametra $\lambda\in\mathbb{R}$ tako, da bodo vektorji $\vec{a}=(-1,1,2)$ , $\vec{b}=(\lambda, 0,1)$ ter $\vec{c}=(1,2,-1)$ komplanarni.

Vektorji $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ so komplanarni, ko je vrednost njihovega mešanega produkta enaka $0$ , torej ko je

$\begin{vmatrix} -1&1&2\\ \lambda& 0& 1\\ 1&2&-1\end{vmatrix}=5\lambda+3=0.$

Iz tega izhaja, da je $\lambda=-\dfrac{3}{5}.$

4. Enačba ravnine v prostoru

Ravnina v trirazsežnem prostoru je določena na dva načina.

S točko $T_0(x_0, y_0, z_0)$ na ravnini in njeno pravokotnico (normalo) oziroma normalnim vektorjem $\vec{n}=(a,b,c)\neq\vec{0}$ (glej sliko 7.3).

Slika 7.3: Ravnina $\pi$ s pravokotnico $\vec{n}$ .

Poiskati enačbo ravnine $\pi$ v prostoru pomeni poiskati neko zvezo med danimi podatki (tj. točko $T_0$ in normalnim vektorjem $\vec{n}$ ) in koordinatami poljubne točke $T(x,y,z)$ na ravnini. Ker leži vektor $\vv{T_0T}=\vv{OT}-\vv{OT_0}=\vec{r}-\vec{r}_0$ na ravnini $\pi$ , je pravokoten na normalni vektor $\vec{n}$ , to pomeni, da velja

(1) $\begin{equation*}\boxed{\vec{n}\cdot (\vec{r}-\vec{r}_0)=0},\end{equation*}$

kar je vektorska oblika enačbe ravnine.

V to enačbo vstavimo koordinate in dobimo splošno obliko enačbe ravnine:

$(a,b,c)\cdot (x-x_0, y-y_0, z-z_0)=0 \Longleftrightarrow a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\Longleftrightarrow$

$ax+by+cz=ax_0+by_0+cz_0$

oziroma

(2) $\begin{equation*}\boxed{ax+by+cz=d}.\end{equation*}$

S tremi točkami $A(a_1,a_2,a_3)$ , $B(b_1,b_2,b_3)$ in $C(c_1, c_2, c_3)$ na ravnini, ki ne ležijo na isti premici (glej sliko 7.4).

Slika 7.4: Ravnina $\pi$ s tremi točkami $A$ , $B$ in $C$ .

V tem primeru izračunamo normalni vektor ravnine kot vektorski produkt $\vec{n}=\vv{AB}\times \vv{AC}$ . Poleg tega velja: če je $T(x,y,z)$ poljubna točka na ravnini $\pi$ , potem so vektorji $\vv{AB}$ , $\vv{AC}$ in $\vv{AT}$ komplanarni, torej je njihov mešani produkt $(\vv{AB}, \vv{AC}, \vv{AT})=0$ :

(3) $\begin{equation*} \begin{vmatrix} x-a_1& y-a_2& z-a_3\\ b_1-a_1& b_2-a_2& b_3-a_3\\ c_1-a_1& c_2-a_2& c_3-a_3 \end{vmatrix}=0. \end{equation*}$

Vektorji $\vv{AB}$ , $\vv{AC}$ in $\vv{AT}$ so linearno odvisni, torej dobimo parametrično obliko enačbe ravnine

$\vv{AT}=t \vv{AB}+ s\vv{AC}, \ \ t,s\in\mathbb{R},$

oziroma

(4) $\begin{equation*} \boxed{\vec{r}-\vec{r}_0=t\vec{u}+s\vec{v}}, \ \ t,s\in\mathbb{R}. \end{equation*}$

Primer 7.10: Zapišimo enačbo ravnine, ki gre skozi točke $A(4,3,0)$ , $B(4,0,-1)$ in $C(0,3,2)$ .

Uporabimo enačbo (3) in dobimo

$\begin{vmatrix} x-4& y-3& z-0\\ 4-4& 0-3& -1-0\\ 0-4& 3-3& 2-0 \end{vmatrix}=0\Longleftrightarrow \begin{vmatrix} x-4& y-3& z\\ 0& -3& -1\\ -4& 0& 2 \end{vmatrix}=0.$

Z razvojem determinanta po prvi vrstici dobimo enčbo iskane ravnine:

$-6(x-4)+4(y-3)-12z=0 \Longleftrightarrow 3x-2y+6z-6=0.$

5. Enačba premice v prostoru

Premica $p$ v prostoru $\mathbb{R}^3$ je določena različno.

S točko $T_0(x_0, y_0, z_0)$ na premici in smernim vektorjem $\vec{s}_p=(a,b,c)\neq \vec{0}$ (glej sliko 7.5).

Slika 7.5: Premica $p$ skozi točko $A$ s smernim vektorjem $\vec{s}_p$ .

Ker sta vektorja $\vv{T_0T}=\vec{r}-\vec{r}_0$ in $\vec{s}_p$ kolinearna (torej tudi linearno odvisna), lahko zapišemo relacijo $\vv{T_0T}=t\cdot \vec{s}_p$ , kjer je $t$ poljubno realno število. Tako dobimo vektorsko obliko enačbe premice:

(5) $\begin{equation*} \boxed{\vec{r}-\vec{r}_0=t\cdot \vec{s}_p}. \end{equation*}$

Če v to formulo vstavimo koordinate $\vec{r}=(x,y,z)$ , $\vec{r}_0=(x_0, y_0, z_0)$ in $\vec{s}_p=(a,b,c)\neq \vec{0}$ , dobimo parametrično obliko enačbe premice:

(6) $\begin{equation*} \begin{cases} x=x_0+ta\\ y=y_0+tb\\ z=z_0+tc \end{cases}, \ \ t\in \mathbb{R}. \end{equation*}$

Če izrazimo parameter $t$ , dobimo kanonično obliko enačbe premice:

(7) $\begin{equation*} \boxed{ \displaystyle\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}}. \end{equation*}$

Z dvema različnima točkama $A$ in $B$ . V tem primeru smerni vektor premice $p$ bo $\vec{s}_p=\vv{AB}$ (glej sliko 7.6).

Z dvema nevzporednima ravninama $\pi_1$ in $\pi_2$ oziroma kot presek ravnin:

(8) $\begin{equation*} p=\pi_1\cap \pi_2\Longleftrightarrow p:\ \ \begin{cases} ax+by+cz=d\\ a'x+b'y+c'z=d' \end{cases}. \end{equation*}$

6. Razdalja med točko in ravnino

Ravnina $\pi$ naj bo določena z normalnim vektorjem $\vec{n}=(a,b,c)$ in točko $T_0(x_0, y_0, z_0)$ (ali s krajevnim vektorjem $\vec{r}_0=(x_0,y_0,z_0)$ ). Oddaljenost točke $A(x_A, y_A, z_A)$ od ravnine $\pi,$ $d(A, \pi)$ je najkrajša razdalja med dano točko in poljubno točko $T(x,y,z)$ na ravnini (glej sliko 7.7).

Slika 7.7: Razdalja med točko in ravnino.

Razdalja $d(A, \pi)$ je enaka dolžini projekcije vektorja $\vv{AT_0}=\vec{r}_A-\vec{r}_0$ na normalni vektor $\vec{n}$ ravnine $\pi$ , podane z enačbo $ax+by+cz=d$ , torej je

(9) $\begin{equation*} d(A, \pi)=\displaystyle\frac{\lvert (\vec{r}_A-\vec{r}_0)\cdot \vec{n}\rvert}{\norm{\vec{n}}}=\frac{\lvert ax_A+by_A+cz_A-d\rvert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. \end{equation*}$

Primer 7.11: Izračunajmo razdaljo med točko $A(2,1,1)$ in ravnino $\pi: x+y-z-4=0$ .

Normalni vektor ravnine $\pi$ je $\vec{n}_{\pi}=(a,b,c)=(1,1,-1)$ , koeficient $d=4$ ter koordinate točke $A$ so $(x_A, y_A, z_A)=(2,1,1)$ . Dobimo, da je razdalja med točko $A$ in ravnino $\pi$ enaka

$d(A, \pi)=\displaystyle\frac{\lvert ax_A+by_A+cz_A-d\rvert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{\lvert 1\cdot 2-1\cdot 1+(-1)\cdot 1-4\rvert}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}.$

7. Razdalja med točko in premico

Premica $p$ naj bo določena s točko $T_0$ (ali s krajevnim vektorjem $\vec{r}_0$ ) in smernim vektorjem $\vec{s}_p$ in naj bo $A$ poljubna točka (glej sliko 7.8).

Slika 7.8: Razdalja med točko $A$ in premico $p$ .

Razdalja med točko in premico $d(A, p)$ je najmanjša razdalja med točko $A$ in neko točko na premici, torej je

(10) $\begin{equation*} d(A, p)=\displaystyle\frac{\norm{(\vec{r_A}-\vec{r_0})\times \vec{s}_p}}{\norm{\vec{s}_p}}. \end{equation*}$

Primer 7.12: Izračunajmo razdaljo med točko $A(1,2,-1)$ in premico $p: x-2=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{3}.$

Če točka pripada premici, je razdalja med njima enaka $0$ . Torej, najprej preverimo, ali je dana točka $A$ na premici $p$ . V tem primeru ni tako, saj koordinate točke ne zadoščajo enačbi premice: $1-2\neq \dfrac{2-1}{2}$ . Krajevni vektor točke $A$ je $\vec{r}_A=(1,2,-1)$ , smerni vektor premice $p$ je $\vec{s}_p=(1,2,3)$ ter krajevni vektor točke na premici $\vec{r}_0=(2,1,-1)$ . Izračunamo vektorski produkt

$(\vec{r}_A-\vec{r}_0)\times \vec{s}_p=(-1,1,0)\times (1,2,3)=\begin{vmatrix} \bar{i}&\bar{j}&\bar{k}\\-1&1&0\\ 1&2&3\end{vmatrix}=(3,3,-3).$

Po formuli (10) sledi, da je razdalja med točko $A$ in premico $p$ enaka

$d(A, p)=\displaystyle\frac{\norm{(3,3,-3)}}{\norm{(1,2,3)}}=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{14}}.$

License

Icon for the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License

Matematika za gospodarski inženiring Copyright © 2024 by University of Nova Gorica Press is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License, except where otherwise noted.

License

Share This Book