Determinanta matrike

Irina Cristea; Hashem Bordbar; Alessandro Linzi

3 Determinanta matrike

1. Osnovni pojmi

V tem poglavju bomo preučili pojem determinante kvadratne matrike, ki nam pomaga ugotoviti, ali je določena matrika obrnljiva ali ne. Poleg tega z determinantami lahko izračunamo inverzno matriko ter rešimo sisteme linearnih enačb.

Definicija 3.1: Determinanta kvadratne matrike $A=(a_{ij})$ reda $n$ je število $\det(A)=\lvert A\rvert=\lvert (a_{ij})\rvert$ , ki ga rekurzivno izračunamo z naslednjima praviloma:

Če je $n=1$ , tedaj je determinanta matrike $A=(a)_{1\times 1}$ enaka $\det(A) = a$ .
Če je $n\geq 2$ , determinanto matrike

$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}_{n \times n}$

izračunamo po pravilu

$\begin{equation*} \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j}\cdot M_{1j}= \sum_{j=1}^{n} a_{1j}\cdot k_{1j}, \end{equation*}$

kjer je $M_{1j}$ determinanta podmatrike, ki jo dobimo tako, da izpustimo prvo vrstico in $j$ -ti stolpec iz matrike $A$ . Elementu $k_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j}$ pravimo kofaktor elementa $a_{1j}$ v matriki $A$ . Ta formula se imenuje razvoj determinante po prvi vrstici.

Primer 3.1: Izračunajmo determinanto matrike $A=\begin{pmatrix} 1&5\\ -1& 6\end{pmatrix}.$

Z razvojem po prvi vrstici dobimo
$\det (A)=\displaystyle \begin{vmatrix} 1& 5\\ -1 & 6\end{vmatrix}= (-1)^{1+1}\cdot 1\cdot 6+ (-1)^{1+2}\cdot 5\cdot (-1)=1\cdot 6-5\cdot (-1)=11.$

Po istem pravilu lahko izračunamo splošno determinanto $2\times 2$ :

$\det (A)=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}\cdot a_{22} - a_{12}\cdot a_{21}.$

Primer 3.2: Poiščimo determinanto matrike $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ .

Najprej izberemo prvo vrstico in izračunamo:

$\begin{array}{lll} \det(A)&=& (-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix} 5 & 6\\ 8 & 9 \end{vmatrix} +(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot \begin{vmatrix} 4 & 6\\ 7 & 9 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3}\cdot 3\cdot \begin{vmatrix} 4& 5\\ 7 & 8 \end{vmatrix} =\\ &=&1\cdot (5\cdot 9-6\cdot 8)-2\cdot (4\cdot 9-6\cdot 7)+3\cdot (4\cdot 8-5\cdot 7)=0. \end{array}$

Izrek 3.1 [1,5]: Determinanto lahko izračunamo tudi z razvojem po kaki drugi vrstici.
Razvoj po $i$ -ti vrstici je

$\begin{equation*} \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij}\cdot M_{ij}= \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\cdot k_{ij}, \end{equation*}$

kjer je $M_{ij}$ determinanta podmatrike, ki jo dobimo tako, da izpustimo $i$ -to vrstico in $j$ -ti stolpec iz matrike $A$ ; elementu $k_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ pravimo kofaktor elementa $a_{ij}$ v matriki $A$ , $i=1,2,\ldots,n$ .

Primer 3.3: Z razvojem po drugi vrstici izračunajmo determinanto matrike $A\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ , podane v Primeru 3.2:

$\begin{array}{lll} \det(A)&=& (-1)^{2+1}\cdot 4\cdot \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 8 & 9 \end{vmatrix} +(-1)^{2+2}\cdot 5\cdot \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 7 & 9 \end{vmatrix} + (-1)^{2+3}\cdot 6\cdot \begin{vmatrix} 1& 2\\ 7 & 8 \end{vmatrix} =\\ &=&(-4)\cdot (2\cdot 9-3\cdot 8)+5\cdot (1\cdot 9-3\cdot 7)-6\cdot (1\cdot 8-2\cdot 7)=0. \end{array}$

Vrednost determinante se ne spremeni, če vlogi vrstic in stolpcev zamenjamo. Torej dobimo naslednji izrek.

Izrek 3.2 [1,5]: Determinanti matrike in njene transponiranke sta enaki: $\det(A)=\det(A^T)$ .

Na podlagi te lastnosti lahko izračunamo determinanto z razvojem po poljubni vrstici ali stolpcu. Običajno bomo izbrali tisto vrstico ali stolpec, ki ima več ničel, saj bomo v vsoti dobili več členov, enakih nič, in zato bo izračun determinante hitrejši.

Primer 3.4: Izračunajmo determinanto matrike $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 4\\ 0 & 2 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 0 & 3\\ 2 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

V tem primeru izberemo tretji stolpec, ker ima determinanta v tem stolpcu vse elemente razen enega enake $0$ , in dobimo

$\det(A)= 1\cdot (-1)^{2+3}\begin{vmatrix} 1& 3 & 4\\ 1 & 1&3\\ 2& -1& 1\end{vmatrix}=$

in zdaj nadaljujemo z razvojem determinante $3\times 3$ po drugi vrstici:

$= (-1)\cdot \left[ 1\cdot (-1)^{2+1}\cdot \begin{vmatrix} 3 & 4\\ -1 & 1 \end{vmatrix}+1\cdot (-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 2 & 1 \end{vmatrix} +3\cdot (-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2& -1 \end{vmatrix} \right]$

$=-(-7-7+21)=-7.$

Primer 3.5: Izračunajmo determinanto matrike $A = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 0 & 0\\ 5 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & -2 & 0\\ 3 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

S ponavljanjem razvoja determinante po prvi vrstici dobimo

$\det(A)=(-1)^{1+1}\cdot 10\cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0\\ 2 & -2 & 0\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}=10\cdot (-1)^{1+1}\cdot (-1)\cdot \begin{vmatrix} -2 & 0\\ 2 & 1 \end{vmatrix}=10\cdot (-1)\cdot (-2)\cdot 1=20,$

torej je vrednost determinante enaka produktu diagonalnih elementov.

Podobno velja za matriko $B= \begin{pmatrix} 5 & 1 & 3 & -2\\ 0 & -1 & 2 & 6\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ 0 & 0& 0 & 7 \end{pmatrix}$ . Njena determinanta je

$\det(B)=5\cdot (-1)\cdot 1\cdot 7=-35.$

Kvadratna matrika, ki ima vse elemente pod glavno diagonalo enake $0$ , se imenuje zgornje trikotna matrika, če ima vse elemente nad glavno diagonalo enake $0$ , pa spodnje trikotna matrika. Determinanta zgornje oziroma spodnje trikotne matrike je enaka produktu diagonalnih elementov.

2. Lastnosti determinant
Naj bo $A$ poljubna kvadratna matrika reda $n$ . Velja [1,5]:

Determinanti matrike in njene transponiranke sta enaki, kar pomeni, da je
$\det(A) = \det(A^T).$
Če ena vrstica ali en stolpec matrike vsebuje same ničle, je njena determinanta enaka $0$ .
Na primer,

$\begin{vmatrix} 1& 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} =0$
Če v matriki $A$ zamenjamo dve vrstici ali dva stolpca, se njena determinanta pomnoži z $(-1)$ .
Na primer,

$\begin{vmatrix} 1& 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = (-1)\cdot \begin{vmatrix} 1& 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8 \end{vmatrix}.$
Če v matriki eno vrstico ali en stolpec pomnožimo s skalarjem $\alpha$ , se determinanta pomnoži z $\alpha$ .
Na primer,

$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 1\\ 4 & -3 & 2\\ 3\cdot (-1) & 3\cdot2 & 3\cdot1 \end{vmatrix} = 3\cdot \begin{vmatrix} -2 & 0 & 1\\ 4 & -3 & 2\\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}.$
Če matriko pomnožimo s skalarjem $\alpha$ , velja $\det (\alpha\cdot A)=\alpha^n\cdot \det (A^n)$ .
Če v matriki $A$ prištejemo skalarni večkratnik ene vrstice drugi vrstici, se determinanta ne spremeni. Enako velja za stolpce. To pravilo lahko uporabimo za računanje determinant. Za krajše in lažje izračune je smiselno narediti več ničel v isti vrstici ali stolpcu. To lastnost bomo uporabili v naslednjem primeru.

Izračunajmo determinanto matrike $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\ 2 & 1 & -2\\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}.$

Če prvo vrstico prištejemo drugi (in prepišemo prvo in tretjo vrstico), dobimo

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2\\ 2 & 1 & -2\\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 0\\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 3\cdot (-1)^{2+1}\cdot\begin{vmatrix} -1 & 2\\ 3 & 3 \end{vmatrix} = -3\cdot (-3-6)=27.$

7. Če sta v matriki $A$ dve vrstici (ali dva stolpca) enaki, je determinanta enaka $0$ .
Na primer,

$\begin{vmatrix} 5 & 1 & 3 & -2\\ 0 & -1 & 2 & 6\\ 5 & 1 & 3 & -2\\ 0 & 4& 0 & 1 \end{vmatrix} = 0.$

8. Binetova formula: $\det(A\cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$ .

Na splošno velja $\det(A^n)=(\det A)^n$ , za poljubno naravno število $n$ .

Primer 3.6: Naj bo dana matrika

$A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\ 2 & 1 & -2\\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}.$

Izračunajmo vrednost determinante matrike $A^5$ .

Z uporabo Binetove formule lahko pišemo

$\det(A^5)=\det (A\cdot A^4)=\det(A)\cdot \det(A\cdot A^3)=\det(A)^2\cdot \det(A^3)=$

$\ldots=\det(A)^5$

in zato je dovolj izračunati samo determinanto matrike $A$ . Ker je $\det(A)=24$ , vemo, da je $\det (A^5)=24^5$ .

Primer 3.7: Naj bo $A$ obrnljiva matrika. Koliko je vrednost determinante inverzne matrike glede na determinanto matrike $A$ ?

Ker je $A$ obrnljiva matrika, velja $A\cdot A^{-1}=I_n$ in torej $\det(A\cdot A^{-1})=\det(I_n)$ . Ker je determinanta identične matrike enaka $1$ , z uporabo Binetove formule to postane $\det(A)\cdot \det(A^{-1})=1$ oziroma

$\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}.$

Primer 3.8: Dokažimo, da je determinanta poševno simetrične matrike lihega reda enaka nič.

Naj bo $A$ poševno simetrična matrika lihega reda $n$ . To pomeni, da je $\det (A^T)=\det (-A)=(-1)^n \det(A).$ Ker je $n$ liho število, dobimo $\det(A^T)=-\det(A)$ . Ampak na splošno velja $\det(A^T)=\det(A)$ , kar pomeni $\det(A)=-\det(A)$ oziroma $\det(A)=0$ .

3 Determinanta matrike

License

Share This Book