9 Funkcije – osnovni pojmi
Splošni pojem funkcije
Naj bosta in dve množici. Funkcija (beremo iz v ) je pravilo ki vsakemu elementu priredi natančno določen element . Pišemo tudi . Simbol beremo “vrednost funkcije pri elementu ali “ od “. Množico imenujemo domena ali definicijsko območje funkcije in jo označimo z .
Zaloga vrednosti funkcije je množica .
Graf funkcije je množica
V tem poglavju bomo spoznali funkcije realne spremenljivke . Ničla funkcije je število , da je . Vrednost funkcije pri točki je realno število .
Omejenost funkcije
Naj bo interval in poljubna funkcija. Rečemo, da je funkcija
- navzgor omejena, če obstaja tako, da je za vsak ; realno število se imenuje zgornja meja funkcije ;
- navzdol omejena, če obstaja tako, da je za vsak ; realno število se imenuje spodnja meja funkcije ;
- omejena, če je navzgor in navzdol omejena, torej če obstajata tako, da je za vsak .
- Natančna zgornja meja funkcije je njena najmanjša zgornja meja, ki jo označimo s . To pomeni, da je:
(a) za vsak in
(b) za vsak obstaja tako, da je .
Če funkcija ni navzgor omejena, pišemo . - Natančna spodnja meja funkcije je njena največja spodnja meja, ki jo označimo z . To pomeni, da je:
(a) za vsak in
(b) za vsak obstaja tako, da je .
Če funkcija ni navzdol omejena, pišemo .
- Če obstaja točka , v kateri je , potem se vrednost imenuje globalni minimum funkcije , kar zapišemo . Velja za vsak .
- Če obstaja točka , v kateri je , potem se vrednost imenuje globalni maksimum funkcije , kar zapišemo . Velja za vsak .
Primer 9.1: Funkcija na sliki 9.1 ni povsod omejena in velja Na intervalu pa je funkcija navzdol in navzgor omejena in velja in .
Primer 9.2: Funkcija z grafom na sliki 9.2(a) je navzgor omejena in velja , ampak maksimum funkcije ne obstaja. Funkcija je tudi navzdol omejena in velja .
Funkcija z grafom na sliki 9.2(b) je navzdol omejena in velja , ampak minimum te funkcije ne obstaja. Funkcija ob tem ni navzgor omejena.
- soda, če ima simetrično domeno in velja za vsak ; to pomeni, da je graf funkcije simetričen glede na -os;
- liha, če ima simetrično domeno in velja za vsak ; to pomeni, da je graf funkcije simetričen glede na koordinatno izhodišče.
Primer 9.3: Funkcija, podana z grafom na sliki 9.3(a), je soda, funkcija, podana z grafom na sliki 9.3(b), pa liha.
- naraščajoča, če velja: za vsaka , sledi, da je
- strogo naraščajoča, če velja: za vsaka , sledi, da je
- padajoča, če velja: za vsaka , sledi, da je
- strogo padajoča, če velja: za vsaka , sledi, da je
- monotona, če je (strogo) naraščajoča na ali je (strogo) padajoča na .
Primer 9.4: Za vsako od danih funkcij ugotovimo domeno in zalogo vrednosti, izračunajmo še ničle, infimum in supremum ter preverimo, ali je funkcija soda ali liha. Zapišimo še območja naraščanja in padanja.