"

9 Funkcije – osnovni pojmi

Splošni pojem funkcije

Naj bosta X in Y dve množici. Funkcija f:X\longrightarrow Y (beremo f iz X v Y) je pravilo f, ki vsakemu elementu x\in X priredi natančno določen element y=f(x)\in Y. Pišemo tudi x\longmapsto f(x). Simbol f(x) beremo “vrednost funkcije f pri elementu x" ali “f od x“. Množico X imenujemo domena ali definicijsko območje funkcije f in jo označimo z D_f.

Zaloga vrednosti funkcije f je množica Z_f=f(X)=\{f(x)\in Y\mid x\in X\}\subseteq Y.
Graf funkcije je množica \Gamma(f)=\{(x, f(x))\in X\times Y\mid x\in X\}.

V tem poglavju bomo spoznali funkcije realne spremenljivke f:D_f\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}. Ničla funkcije f je število x\in D_f, da je f(x)=0. Vrednost funkcije f pri točki x\in D_f je realno število f(x)\in Z_f.

Omejenost funkcije

Naj bo I\subseteq \mathbb{R} interval in f:I\longrightarrow \mathbb{R} poljubna funkcija. Rečemo, da je funkcija f

  1. navzgor omejena, če obstaja M\in \mathbb{R} tako, da je f(x)\leq M za vsak x\in I; realno število M se imenuje zgornja meja funkcije f;
  2. navzdol omejena, če obstaja m\in\mathbb{R} tako, da je f(x)\geq m za vsak x\in I; realno število m se imenuje spodnja meja funkcije f;
  3. omejena, če je navzgor in navzdol omejena, torej če obstajata m, M\in \mathbb{R} tako, da je m\leq f(x)\leq M za vsak x\in I.
Naj bo f:I\longrightarrow \mathbb{R} poljubna funkcija, definirana na intervalu I.
  1. Natančna zgornja meja funkcije f je njena najmanjša zgornja meja, ki jo označimo s \sup (f). To pomeni, da je:
    (a) f(x)\leq \sup (f) za vsak x\in I in
    (b) za vsak \varepsilon>0 obstaja x_0\in I tako, da je f(x_0)>\sup (f)-\varepsilon.
    Če funkcija ni navzgor omejena, pišemo \sup (f)=+\infty.
  2. Natančna spodnja meja funkcije f je njena največja spodnja meja, ki jo označimo z \inf (f). To pomeni, da je:
    (a) f(x)\geq m za vsak x\in I in
    (b) za vsak \varepsilon>0 obstaja x_0\in I tako, da je f(x_0)<m+\varepsilon.
    Če funkcija ni navzdol omejena, pišemo \inf (f)=-\infty.
  3. Če obstaja točka x_0\in D_f\subseteq I, v kateri je f(x_0)=\inf (f), potem se vrednost f(x_0) imenuje globalni minimum funkcije f, kar zapišemo \min (f)=f(x_0). Velja f(x_0)\leq f(x) za vsak x\in D_f.
  4. Če obstaja točka x_0\in D_f\subseteq I, v kateri je f(x_0)=\sup (f), potem se vrednost f(x_0) imenuje globalni maksimum funkcije f, kar zapišemo \max (f)=f(x_0). Velja f(x_0)\geq f(x) za vsak x\in D_f.

Primer 9.1: Funkcija f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} na sliki 9.1 ni povsod omejena in velja \inf (f)=-\infty, \sup (f)=+\infty. Na intervalu \left[ -2,3\right] pa je funkcija navzdol in navzgor omejena in velja \max (f)=M in \min (f)=m.

 

Slika 9.1: Funkcija, omejena na intervalu [-2; 3].

 

Primer 9.2: Funkcija z grafom na sliki 9.2(a) je navzgor omejena in velja \sup (f)=S, ampak maksimum funkcije f ne obstaja. Funkcija je tudi navzdol omejena in velja \min (f)=\inf (f)=0.
Funkcija z grafom na sliki 9.2(b) je navzdol omejena in velja \inf (f)=I, ampak minimum te funkcije ne obstaja. Funkcija ob tem ni navzgor omejena.

 

Slika 9.2: Supremum in infimum funkcije.
Sode in lihe funkcije
Domena D_f funkcije f je simetrična, če je x\in D_f natanko tedaj, ko je -x\in D_f. Potem rečemo, da je funkcija f:
  1.  soda, če ima simetrično domeno in velja f(x)=f(-x) za vsak x\in D_f; to pomeni, da je graf funkcije simetričen glede na y-os;
  2.  liha, če ima simetrično domeno in velja f(x)= -f(-x) za vsak x\in D_f; to pomeni, da je graf funkcije simetričen glede na koordinatno izhodišče.

Primer 9.3: Funkcija, podana z grafom na sliki 9.3(a), je soda, funkcija, podana z grafom na sliki 9.3(b), pa liha.

 

Slika 9.3: Soda in liha funkcija.
Naraščajoče in padajoče funkcije
Funkcija f:I\longrightarrow \mathbb{R}, definirana na intervalu I, je
  1. naraščajoča, če velja: za vsaka x_1, x_2\in I, x_1<x_2, sledi, da je f(x_1)\leq f(x_2);
  2. strogo naraščajoča, če velja: za vsaka x_1, x_2\in I, x_1<x_2, sledi, da je f(x_1)< f(x_2);
  3. padajoča, če velja: za vsaka x_1, x_2\in I, x_1<x_2, sledi, da je f(x_1)\geq f(x_2);
  4. strogo padajoča, če velja: za vsaka x_1, x_2\in I, x_1<x_2, sledi, da je f(x_1)> f(x_2);
  5. monotona, če je (strogo) naraščajoča na I ali je (strogo) padajoča na I.

Primer 9.4: Za vsako od danih funkcij ugotovimo domeno in zalogo vrednosti, izračunajmo še ničle, infimum in supremum ter preverimo, ali je funkcija soda ali liha. Zapišimo še območja naraščanja in padanja.

 

License

Funkcije – osnovni pojmi Copyright © 2024 by University of Nova Gorica Press. All Rights Reserved.

Share This Book