Konveksnost, konkavnost, prevoj

Irina Cristea; Hashem Bordbar; Alessandro Linzi

18 Konveksnost, konkavnost, prevoj

Definicija 18.1: Funkcija $f: I \longrightarrow \mathbb{R}$ je na intervalu $I$ konveksna, če za vsak interval $[a,b] \subseteq I$ in za vsako točko $x \in (a,b)$ velja

$\frac{f(x) - f(a)}{x-a} \leq \frac{f(b) - f(a)}{b-a}.$

Grafično to pomeni, da na intervalu $[a,b]$ graf funkcije $f$ leži pod premico skozi točki $(a, f(a))$ in $(b, f(b))$ , kot kaže slika 18.1.

Funkcija $f: I \longrightarrow \mathbb{R}$ je na intervalu $I$ konkavna, če za vsak interval $[a,b] \subseteq I$ in za vsako točko $x \in (a,b)$ velja

$\frac{f(x) - f(a)}{x-a} \geq \frac{f(b) - f(a)}{b-a}.$

Grafično to pomeni, da na intervalu $[a,b]$ graf funkcije leži nad premico skozi točki $(a, f(a))$ in $(b, f(b))$ , kot kaže slika 18.2.

Izrek 18.1 [9]: Naj bo funkcija $f: I \longrightarrow \mathbb{R}$ dvakrat odvedljiva.

Funkcija $f$ je na intervalu $[a,b]$ konveksna, če je $f''(x) \geq 0$ za vsak $x \in (a,b).$
Funkcija $f$ je na intervalu $[a,b]$ konkavna, če je $f''(x) \leq 0$ za vsak $x \in (a,b).$

Definicija 18.2: Točka $x \in I$ se imenuje prevoj funkcije $f$ , če se funkcija v njej spremeni iz konveksne v konkavno ali obratno.

Izrek 18.2 [9]: Naj bo funkcija $f: I \longrightarrow \mathbb{R}$ dvakrat odvedljiva.

Če je $f''(x) = 0$ in $f''$ pri prehodu skozi točko $x$ spremeni predznak, je točka $x$ prevoj funkcije $f$ .
Če funkcija $f$ v stacionarni točki nima lokalnega ekstrema, ima v njej prevoj.

Primer 18.1: Preučimo konveksnost oziroma konkavnost funkcije $f(x)=x\cdot \ln x$ .

Izračunamo drugi odvod dane funkcije:

$f'(x)=x'\cdot \ln x+x\cdot (\ln x)'=\ln x+1 \ \ \mbox{in}\ \ f''(x)=\dfrac{1}{x}.$

To pomeni, da je $f$ konveksna na intervalu $(0, +\infty)$ in konkavna na intervalu $(-\infty, 0)$ . Ker je vedno $f''(x)\neq 0$ , funkcija nima prevojev.

Primer 18.2: Preučimo konveksnost oziroma konkavnost funkcije $f(x)=(x-2)\cdot e^{2x}$ .

Izračunamo drugi odvod dane funkcije:

$f'(x)=(x-2)'\cdot e^{2x}+ (x-2)\cdot (e^{2x})'=e^{2x}+ 2\cdot(x-2)\cdot e^{2x}$

$=e^{2x}\cdot (2x-3),$

$f''(x)=(2x-3)'\cdot e^{2x}+ (2x-3)\cdot (e^2x)'=2e^{2x}+2\cdot (2x-3)\cdot e^{2x}$

$=e^{2x}\cdot (4x-4).$

Ker je eksponentna funkcija vedno pozitivna, predznak drugega odvoda poda le predznak polinomske funkcije $4x-4=4\cdot (x-1)$ . Torej je $f''(x)>0$ za $4\cdot (x-1)>0\Longleftrightarrow x>1$ in $f''(x)<0$ za $4\cdot (x-1)<0\Longleftrightarrow x<1$ . Ker je $f''(x)=0$ za $x=1$ , je točka $x=1$ prevoj in je funkcija konveksna na intervalu $(1, +\infty)$ , konkavna pa na intervalu $(-\infty, 1)$ .

18 Konveksnost, konkavnost, prevoj

License

Share This Book