Limita funkcije

Irina Cristea; Hashem Bordbar; Alessandro Linzi

10 Limita funkcije

Definicija 10.1: Naj bo $x_0$ notranja točka intervala $I$ in $f: I \setminus\{x_0\}\rightarrow \mathbb{R}$ dana funkcija. Število $L$ je limita funkcije $f$ v točki $x_0$ , če za vsak $\varepsilon >0$ obstaja tak $\delta>0$ , da za vsak $x\in I$ velja:

$\lvert x - x_0 \rvert < \delta \Longrightarrow \lvert f(x)-L\rvert<\varepsilon.$

To pomeni: vrednost $f(x)$ je poljubno blizu $L$ , ko je $x$ dovolj blizu $x_0$ (ampak $~x \neq x_0$ ). Pišemo $L =\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)$ (in beremo $L$ je limita funkcije $f$ , ko gre $x$ proti $x_0$ ).

Za naslednje limite lahko uporabimo metodo vstavljanja.

Primer 10.1: Izračunajmo limite:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} (3x-4) = 3 \cdot 1 - 4 = -1.$
$\displaystyle\lim_{x \to 2} (x^2 - x +2) = 2^2-2+2=4.$
$\displaystyle\lim_{x \to -1} \displaystyle\frac{x^2-1}{x-3}=\frac{(-1)^2-1}{-1-3}=0.$

Če je točka $x_0$ ničla števca in imenovalca dane racionalne funkcije, najprej razstavimo števec in imenovalec, potem pa pokrajšamo skupni faktor.

Primer 10.2: Izračunajmo limite:

$\displaystyle\lim_{x \to 9} \displaystyle\frac{x^2-81}{x-9} =\lim_{x \to 9} \frac{(x-9)\cdot (x+9)}{x-9} = \lim_{x \to 9} (x+9)= 18.$
$\displaystyle\lim_{x \to -1} \displaystyle\frac{x^2-1}{x^2+3x+2} =\lim_{x \to -1} \frac{(x-1)\cdot (x+1)}{(x+1)\cdot (x+2)} = \lim_{x \to -1} \frac{x-1}{x+2}=\frac{-2}{1}$ .
$\displaystyle\lim_{x \to 2} \displaystyle\frac{x-2}{x^2+x-6} =\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x+3)\cdot (x-2)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x+3}= \frac{1}{5}.$

Operacije z limitami

Izrek 10.1 [5,9]: Naj bo $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = L_1$ in $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = L_2$ . Potem velja:

$\displaystyle\lim_{x \to x_0} (f(x)\pm g(x)) = L_1 \pm L_2$ ;
$\displaystyle\lim_{x \to x_0} (f(x)\cdot g(x)) = L_1 \cdot L_2$ ;
$\displaystyle\lim_{x \to x_0} (\alpha \cdot f(x)) = \alpha \cdot L_1$ , za poljubno $\alpha \in \mathbb{R}$ ;
$\displaystyle\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2}$ , če je $L_2\neq 0$ ;
$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)} = L_1^{L_2}$ , če je $L_1>0$ .

Enostranske limite

Definicija 10.2: Pravimo, da je realno število $L$

(i) leva limita funkcije $f$ v točki $x_0$ , če za vsak $\varepsilon > 0$ obstaja tak $\delta > 0$ , da je $\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon$ , če je $x_0 - \delta < x < x_0$
(to pomeni, da se $x$ številu $x_0$ približuje z leve strani); pišemo

$\lim_{x \to x_0^-} f(x)=\lim_{\substack{x \to x_0\\x < x_0}} f(x)= \lim_{x\nearrow x_0} f(x)= L;$

(ii) desna limita funkcije $f$ v točki $x_0$ , če za vsak $\varepsilon > 0$ obstaja tak $\delta>0$ , da je $\lvert f(x) - L\rvert < \varepsilon$ , če je $x_0< x < x_0+\delta$
(to pomeni, da se $x$ številu $x_0$ približuje z desne strani); pišemo

$\lim_{x \to x_0^+} f(x)=\lim_{\substack{x \to x_0\\x> x_0}} f(x) = \lim_{x\searrow x_0} f(x)= L.$

Izrek 10.2 [5,9]: Funkcija $f$ ima v točki $x_0$ limito natanko tedaj, ko ima v točki $x_0$ tako levo kot desno limito in sta ti dve limiti enaki.

Primer 10.3: Izračunajmo levo in desno limito v točki $2$ funkcije, podane s predpisom

$f(x) = \begin{cases} x^2,&\textup{če je }x \geq 2,\\ x-3,&\textup{če je }x < 2. \end{cases}$

Velja $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x)=\lim_{x \to 2^-} (x-3) = -1$ in $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)=\lim_{x \to 2^+} x^2 = 4.$ Torej ugotovimo, da ne obstaja limita $\displaystyle\lim_{x \to 2}f(x)$ .

Primer 10.4: Dana je funkcija s predpisom $f(x) =\displaystyle\frac{1}{x}.$ Domena te funkcije je $D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ in njen graf je na sliki 10.1.

Slika 10.1: Graf funkcije $f(x) = \displaystyle\frac{1}{x}$ .

Z grafa funkcije razberemo, da ko gre $x$ proti $+\infty$ , se vrednost funkcije $f(x)$ približuje $0^+$ , torej je

$\lim_{x \to +\infty} f(x)= 0^+,$

in ko gre $x$ proti $-\infty$ , se vrednost funkcije $f(x)$ približuje $0^-$ , torej je

$\lim_{x \to -\infty} f(x)= 0^-.$

Poleg tega v točki $0$ funkcija ni definirana in veljata:

$\lim_{x \to 0^+} f(x)= \frac{1}{0^+} = +\infty,$

$\lim_{x \to 0^-} f(x)= \frac{1}{0^-} = -\infty.$

To pomeni, da limita $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x}$ ne obstaja.

Primer 10.5: Naj bo funkcija $f$ podana s predpisom $f(x) = \lvert x \rvert.$ Ugotovimo, ali obstaja $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ .

Na podlagi definicije absolutne vrednosti zapišemo

$f(x)=\begin{cases} x,&\textup{če je }x \geq 0,\\ -x,&\textup{ če je }x < 0,\end{cases}$

in torej dobimo

$\lim_{x \to 0^-} f(x)= \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$

ter

$\lim_{x \to 0^+} f(x)= \lim_{x \to 0^+}x=0,$

kar pomeni, da je $\displaystyle\lim_{x \to 0} \lvert x \rvert = 0.$

Primer 10.6: Naj bo funkcija $f$ podana s predpisom $f(x)=\displaystyle\frac{\lvert x-1\rvert}{x-1}$ . Ugotovimo, ali obstaja $\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)$ .

Ker je

$\lvert x-1\rvert=\begin{cases} x-1, &\textup{če je }x-1 \geq 0,\\ -(x-1), &\textup{če je }x-1<0,\end{cases}$

lahko izračunamo

$\lim_{x \to 1^-} f(x) =\lim_{x \to 1^-}\frac{-(x-1)}{x-1} = -1$

in podobno

$\lim_{x \to 1^+} f(x)= \lim_{x \to 1^+}\frac{x-1}{x-1} = 1.$

Torej limita $\displaystyle\lim_{x \to 1} \displaystyle\frac{\lvert x-1\rvert}{x-1}$ ne obstaja.

Limita v neskončnosti

Pravimo, da je

1. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)= L$ , če za vsak $\varepsilon {> }0$ obstaja tak $\delta{ > }0$ , da je $\lvert f(x) - L \rvert {< }\varepsilon$ za vsak $x >\delta;$
2. $\displaystyle\lim_{x \to-\infty} f(x)= L$ , če za vsak $\varepsilon {>} 0$ obstaja tak $\delta{ >} 0$ , da je $\lvert f(x) - L \rvert {<} \varepsilon$ za vsak $x<\delta.$

Primer 10.7: Izračunajmo naslednje limite:

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{5}{x^2} =0,$ ker je $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^2=+\infty$ .
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{-2}{x^5} =0,$ ker je $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^5=-\infty$ .
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x^3 + 7x^2+5x-10)=\lim_{x \to +\infty} x^3\cdot\left(1+\frac{7}{x}+\frac{5}{x^2} - \frac{10}{x^3}\right)=$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty.$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (-3x^5 - 7x^3+5x-11) = \lim_{x \to -\infty} x^5\cdot\left(-3 -\frac{7}{x^2}{ +} \frac{5}{x^4}{ -}\frac{11}{x^5}\right)=$
$(-\infty)\cdot (-3)= +\infty.$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2+1}{3x^5-7x-1} =\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2\cdot\left(2+\displaystyle\frac{1}{x^2}\right)} {x^5\cdot \left(3 - \displaystyle\frac{7}{x^4} - \displaystyle\frac{1}{x^5} \right)}= \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^2}{3x^5} =0.$

Neskončna limita

Dana je funkcija $f:I\longrightarrow \mathbb{R}$ . Pravimo, da je
1. $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)= +\infty$ , če za vsak $\varepsilon > 0$ obstaja tak $\delta > 0$ , da je $f(x) > \varepsilon$ za vsak $x\in I$ tako, da je $\lvert x - x_0 \rvert < \delta;$
2. $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)= -\infty$ , če za vsak $\varepsilon>0$ obstaja tak $\delta>0$ , da je $f(x) < -\varepsilon$ za vsak $x\in I$ tako, da je $\lvert x - x_0 \rvert<\delta.$

Primer 10.8: Izračunajmo naslednje limite:

$\displaystyle\lim_{x \to 2^+} \dfrac{x+1}{x^2- 4} =\lim_{x \to 2^+} \frac{x+1} {(x-2)\cdot (x+2)} = \frac{3}{(0^+) \cdot 4} = + \infty.$
$\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \dfrac{x+1}{x^2- 4} =\lim_{x \to 2^-} \frac{x+1} {(x-2)\cdot (x+2)} = \frac{3}{(0^-) \cdot 4} = - \infty.$
$\displaystyle\lim_{x \to -1^+} \frac{2x-5}{x+1} =\lim_{x \to -1^+} \frac{2\cdot (-1)-5} {0^+} = \frac{-7}{0^+} = - \infty.$
$\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \frac{x^4 - x^3 + 1}{1 - x^3} =\lim_{x \to 1^+} \frac{x^4 - x^3 + 1} {(1-x)\cdot (1+x+x^2)} =\frac{1}{(0^-) \cdot 3} =-\infty.$

Primer 10.9: Ali je $\displaystyle\lim_{x \to 3} (2x+\lvert x-3 \rvert) = 6$ ?

Najprej napišemo izraz absolutne vrednosti

$\lvert x-3 \rvert = \begin{cases} x-3, &\textup{če je }x-3 \geq 0 \Leftrightarrow x\geq 3,\\ -(x-3),&\textup{če je }x-3 < 0 \Leftrightarrow x<3. \end{cases}$

Če je $x\geq 3$ , izračunamo desno limito dane funkcije:

$\lim_{x \to 3^+} (2x+\lvert x-3 \rvert) =\lim_{x \to 3^+} (2x+ x-3) = \lim_{x \to 3^+} (3x-3 )= 6,$

in če je $x<3$ , izračunamo levo limito:

$\lim_{x \to 3^-} (2x+\lvert x-3 \rvert) =\lim_{x \to 3^-} (2x-x+3 )= \lim_{x \to 3^-} (x+3) = 6.$

Ker sta leva in desna limita enaki, je $\displaystyle\lim_{x \to 3} (2x+\lvert x-3 \rvert )= 6$ .

Primer 10.10: Izračunajmo limito $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{\lvert x-1 \rvert}.$

Začnemo z izrazom absolutne vrednosti

$\lvert x-1 \rvert = \begin{cases} x-1, &\textup{če je }x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x\geq 1,\\ -(x-1),&\textup{če je }x-1 < 0 \Leftrightarrow x<1. \end{cases}$

Zdaj izračunamo desno in potem levo limito v točki $1$ :

$\lim_{x \to 1^+} \dfrac{x^2 - 1}{\lvert x-1 \rvert} =\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 1}{ x-1}= \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)\cdot (x+1)}{ x-1} = \lim_{x \to 1^+} (x+1) = 2.$

$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{\lvert x-1 \rvert} =\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - 1}{-(x-1)}= \lim_{x \to 1^-} \frac{(x-1)\cdot (x+1)}{-(x-1)}$

$= \lim_{x \to 1^-} -(x+1) = -2.$

Ker dve limiti nista enaki, sklepamo, da limita $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{\lvert x-1 \rvert}$ ne obstaja.

Limita elementarnih funkcij

Polinomska funkcija

Izraz oblike

$P(x) = a_nx^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots +a_1x+a_0, a_i \in \mathbb{R}$

imenujemo polinom spremenljvke $x$ . Če je $a_n \neq 0$ , je stopnja polinoma $P$ enaka $n$ in koeficientu $a_n\neq 0$ pri najvišji potenci $x^n$ pravimo vodilni koeficient. Domena polinomske funkcije je $\mathbb{R}$ . Velja:

$\lim_{x \to +\infty} P(x)= a_n \cdot (+\infty) = \begin{cases} +\infty, &\textup{\v ce je }a_n >0,\\ -\infty, &\textup{\v ce je }a_n < 0, \end{cases}$

$\lim_{x \to -\infty} P(x)= \begin{cases} a_n \cdot (+\infty) ,&\textup{\v ce je }n \textup{ sodo \v stevilo,} \\ a_n \cdot (-\infty), & \textup{\v ce je }n\textup{ liho \v stevilo.} \end{cases}$

$\lim_{x \to x_0} P(x)= P(x_0).$

Primer 10.11: Izračunajmo limito

$\lim_{x \to -\infty} (-5x^7 + 3x^3 - 7x + 100) = \lim_{x \to -\infty} (-5x^7) = (-5) \cdot (-\infty)^7 = +\infty.$

Racionalna funkcija

Racionalna funkcija, tj. kvocient dveh polinomov, ima splošno obliko

$f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)} = \frac{a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1}+\ldots + b_0}\qquad (a_n \neq 0, b_m \neq 0).$

Ničle racionalne funkcije $f$ so ničle polinoma $p$ , če polinoma $p$ in $q$ nimata skupnih ničel, poli pa so ničle polinoma $q$ . Domena funkcije $f$ je torej $\mathbb{R}\setminus \{poli\}$ .

Limito v neskončnosti izračunamo po metodi, da v števcu in imenovalcu izpostavimo $x$ na najvišji potenci:

$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) &=\lim_{x \to \pm \infty} \frac{a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1}+\cdots + b_0}$

$&=\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^n\cdot (a_n + \dfrac{a_{n-1}}{x}+\cdots + \dfrac{a_0}{x^n})}{x^m\cdot (b_m+ \dfrac{b_{m-1}}{x}+\cdots + \dfrac{b_0}{x^m})}=\begin{cases} \dfrac{a_n}{b_m}, &\text{\v ce je }m= n, \\ \pm\infty, & \text{\v ce je }m < n,\\0,&\text{\v ce je } m > n. \end{cases}$

Primer 10.12: Izračunajmo naslednje limite:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3-1}{x^2-1} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3\cdot \left(1 - \boxed{\frac{1}{x^3}}^{\nearrow 0} \right)}{x^2\cdot \left(1-\boxed{\frac{1}{x^2}}_{\searrow 0}\right)} =\lim_{x \to +\infty} x = +\infty.$
$\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \dfrac{-3x^2-7x+1}{2x^2+1} = - \frac{3}{2},$ ker sta stopnji števca in imenovalca enaki.
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2-7x+1}{x-1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\cdot \left(4- \boxed{\frac{7}{x} }^{\nearrow 0}+\boxed{\frac{1}{x^2}}^{\nearrow 0}\right)}{x\cdot \left(1-\boxed{\frac{1}{x}}_{\searrow 0}\right)}$
${ =}\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2}{x}= \lim _{x \to +\infty} 4x{=}+\infty.$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{-2x^2+8x-5}{3x^5-2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2\cdot \left(-2 +\dfrac{8}{x} - \dfrac{5}{x^2}\right)}{x^5\cdot \left(3-\dfrac{2}{x^5}\right)}=\lim_{x \to -\infty} \frac{-2x^2}{3x^5}$
$=\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{-2}{3x^3}=\frac{-2}{-\infty}=0.$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{ 1 - e^x}{1 + 2e^x}= \lim_{x \to +\infty} \frac{ e^x\cdot \left(\boxed{\frac{1}{e^x}}^{\nearrow 0} - 1\right)}{e^x \cdot \left(\boxed{\frac{1}{e^x}}_{\searrow 0} + 2\right)}= \frac{-1}{2}.$

Ko izračunamo limito racionalne funkcije v polu, razstavimo imenovalec, in če je pol ničla tudi za števec, potem razstavimo števec ter pokrajšamo skupni faktor.

Primer 10.13: Izračunajmo naslednje limite:

$\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \frac{x^4-x^3+1}{1-x^3} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^4-x^3+1}{(1-x)\cdot (1+x+x^2)} = \frac{1}{(0^-)\cdot 3} = -\infty$ .
$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x+3)\cdot (x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+3) = 5$ .
$\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 4x}{x^2 - 3x - 4} = \lim_{x \to 4} \frac{x\cdot (x-4)}{(x-4)\cdot (x+1)} =\lim_{x \to 4} \frac{x}{x+1} = \frac{4}{5}$ .

Iracionalna funkcija

Pri računanju limit iracionalnih funkcij, tj. funkcij, v katerih nastopajo koreni, uporabimo metodo razširjanja.

Primer 10.14: Izračunajmo naslednje limite:

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} \stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} \cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}=\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+x})^2-1^2}{x\cdot (\sqrt{1+x}+1)}$ $=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1+x-1}{x\cdot (\sqrt{1+x}+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{2}.$
$\displaystyle\lim_{x \to 1}\frac{2 - \sqrt{x+3}}{\sqrt{2x-1}-1}\stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=}\lim_{x \to 1} \frac{2 - \sqrt{x+3}}{\sqrt{2x-1}-1}\cdot\frac{2 + \sqrt{x+3}}{2 + \sqrt{x+3}}\cdot\frac{\sqrt{2x-1}+1}{\sqrt{2x-1}+1} &=$ $=\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{(2^2 - (\sqrt{x+3})^2) \cdot (\sqrt{2x-1}+1)}{((\sqrt{2x-1})^2-1^2) \cdot (2 + \sqrt{x+3})}= \lim_{x \to 1} \frac{(1-x) \cdot (\sqrt{2x-1}+1)}{2\cdot (x-1) \cdot (2 + \sqrt{x+3})} = \frac{-2}{2 \cdot 4} = \frac{-1}{4}.$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+4}+x) \stackrel{\left[ \infty-\infty\right]}{=}\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+4}+x) \cdot \frac{\sqrt{x^2+4}-x}{\sqrt{x^2+4}-x}=$ $=\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2+4})^2-x^2}{\sqrt{x^2+4}-x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{4}{\sqrt{x^2+4}-x}= 0,$ kjer je $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+4}-x)=+\infty-(-\infty) =+\infty.$
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+4}+x) = +\infty + \infty = +\infty.$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x^2 - x}) \stackrel{\left[ \infty-\infty\right]}{=}$
$=\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x^2 - x}) \cdot \frac{\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2 - x}}{\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2 - x}}=$
$=\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{(\sqrt{x^2+x})^2 - (\sqrt{x^2 - x})^2}{\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2 - x}} =\lim_{x \to -\infty}\frac{x^2+x-x^2+x}{\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2 - x}}=$
$=\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2\cdot\left(1+\boxed{\frac{1}{x}}_{\searrow 0}\right)} + \sqrt{x^2\cdot\left( 1 - \boxed{\frac{1}{x}}_{\searrow 0}\right)}}=\lim_{x \to -\infty}\frac{2x}{2 \cdot \lvert x \rvert}$
$= \displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{2x}{-2x}=-1.$
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{2x^2+2}-x}{x} \stackrel{\left[\frac{+\infty}{-\infty}\right]}{=}\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{2x^2+2}-x}{x}\cdot \frac{\sqrt{2x^2+2}+x}{\sqrt{2x^2+2}+x}=$
$=\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{(\sqrt{2x^2+2})^2-x^2}{x\cdot (\sqrt{2x^2+2}+x)} =\lim_{x \to -\infty}\frac{x^2+2}{x\cdot (\sqrt{2x^2+2}+x)} =$
$=\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\frac{x^2+2}{x\left(\sqrt{x^2(2+\boxed{\frac{2}{x^2}}_{\searrow 0})}+x\right)}=\lim_{\substack{x \to -\infty\\ (x<0)}}\frac{x^2\cdot \left(1+\boxed{\frac{2}{x^2}}^{\nearrow 0}\right)}{x\cdot (\sqrt{2}\underbrace{\lvert x\rvert}_{-x} +x)}=$
$=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{x^2\cdot \left(1+\boxed{\frac{2}{x^2}}^{\nearrow 0}\right)}{x^2\cdot\left(-\sqrt{2}+1\right)}=\frac{1}{-\sqrt{2}+1}.$

Eksponentna funkcija (nedoločena oblika $\left[ 1^\infty\right]$ )

Eksponentna funkcija ima splošno obliko $f(x) = a^x$ , kjer je $a>0$ poljubno realno število, ki se imenuje osnova, $x$ pa eksponent. Domena te funkcije je $\mathbb{R}$ , zaloga vrednosti pa $(0, +\infty)$ , zato funkcija nima ničle.

Za $a>0$ je eksponentna funkcija strogo naraščajoča in velja:

$\lim_{x \to +\infty} a^x=+\infty,\qquad\lim_{x \to -\infty}a^x=0^+.$

Za $0<a<1$ je eksponentna funkcija strogo padajoča in velja:

$\lim_{x \to +\infty} a^x=0^+,\qquad \lim_{x \to -\infty}a^x=+\infty.$

Grafa eksponentne funkcije sta na sliki 10.2.

Izrek 10.3 [5,9]:

Velja $\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$ . Velja tudi limita

$\lim_{x \to \alpha} \left(1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)} = e,~~~(1)$

kjer je $\displaystyle\lim_{x \to \alpha} f(x) = \pm \infty$ .

Primer 10.15: Izračunajmo limito $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x}{x+1}\right)^{x+1}$ .

Ker sta $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x+1} =1$ in $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x+1)=+\infty$ , je dana limita v nedoločeni obliki $[1^{\infty}]$ in za njen izračun torej uporabimo formulo (1). Najprej osnovo $\dfrac{x}{x+1}$ napišemo v obliki $1+\dfrac{1}{f(x)}$ in potem uredimo eksponent, da dano funkcijo zapišemo v obliki

$\left[\left(1+\dfrac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}\right]^{\frac{1}{f(x)}\cdot g(x)},$

kjer je $g(x)$ začetni eksponent. Potem je

$\lim_{x \to +\infty} \left[\left(1+\dfrac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}\right]^{\frac{1}{f(x)}\cdot g(x)}=e^{\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{g(x)}{f(x)}}.$

V našem primeru je ta postopek sledeč:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x}{x+1}\right)^{x+1} =\lim_{x \to +\infty} \left(1+\frac{x}{x+1}-1\right)^{x+1}$

$=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1+\frac{x-x-1}{x+1}\right)^{x+1}$

$=\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(1+ \frac{-1}{x+1}\right)^{x+1}$

$=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1+\frac{1}{-(x+1)}\right)^{x+1}$

$=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[\underbrace{\left(1+\frac{1}{-(x+1)}\right)^{-(x+1)}}_{e}\right]^{\frac{1}{-(x+1)}\cdot (x+1)}$

$= e^{-1}$

$= \dfrac{1}{e}.$

Primer 10.16: Izračunajmo limito $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+3}{x-2}\right)^{x}$ .

Dana limita je v nedoločeni obliki $[1^{\infty}]$ , torej tukaj lahko uporabimo formulo (1):

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+3}{x-2}\right)^{x} &=\lim_{x \to +\infty} \left(1+\frac{x+3}{x-2}-1\right)^{x}$
$\displaystyle=\lim_{x \to +\infty} \left(1+\frac{x+3-(x-2)}{x-2}\right)^{x}$
$\displaystyle=\lim_{x \to +\infty} \left(1+ \frac{5}{x-2}\right)^{x}$
$\displaystyle=\lim_{x \to +\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{x-2}{5}}\right)^{\frac{x-2}{5}}\right]^{\frac{5}{x-2}\cdot x}$
$=e^{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{5x}{x-2}}$

$= e^5.$

Primer 10.17: Izračunajmo limito $\displaystyle\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$ .

Ta limita je podana v nedoločeni obliki $[1^{\infty}]$ , torej uporabimo formulo (1).

$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} =\lim_{x \to 0}\left[ \left(1+\frac{1}{\frac{1}{x}}\right)^{\frac{1}{x}} \right]^{x\cdot\frac{1}{x}}= e^{\displaystyle\lim_{x \to 0}(x\cdot \dfrac{1}{x})}=e.$

Primer 10.18: Izračunajmo limito $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}\right)^{\sqrt{x}}$ .

Najprej izračunamo limito

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x \cdot\left(1+\dfrac{\sqrt{x}}{x}\right)}{x\cdot\left( 1-\dfrac{\sqrt{x}}{x}\right)}=\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1+\boxed{\frac{1}{\sqrt{x}}}^{\nearrow 0}}{1-\boxed{\frac{1}{\sqrt{x}}}_{\searrow 0}}=1,$

torej je dana limita v nedoločeni obliki $[1^{\infty}]$ . Zato izračunamo

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}\right)^{\sqrt{x}}$

$=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1+\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}-1\right)^{\sqrt{x}}$

$=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1+\dfrac{x+\sqrt{x}-(x-\sqrt{x})}{x-\sqrt{x}}\right)^{\sqrt{x}}$

$=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1+\dfrac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}\right)^{\sqrt{x}}$

$=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[\left(1+\dfrac{1}{\frac{x-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}\right)^{\frac{x-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}\right]^{\frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}\cdot \sqrt{x}}$

$=e^{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}\cdot \sqrt{x}\right)}$

$=e^{\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x\cdot\left(1-\boxed{\dfrac{\sqrt{x}}{x}}_{\searrow 0}\right)}}$

$=e^2.$

Logaritemska funkcija

Inverzna funkcija eksponentne funkcije je logaritemska funkcija, definirana, kot sledi:

$y=\log _a x\Leftrightarrow x=a^y, a\neq 1.$

Domena logaritemske funkcije $f(x)=\log _a x$ z osnovo $a>0, a\neq 1$ , in $D_f=(0, +\infty)$ . Ker je $a^0=1$ , dobimo, da je ničla logaritemske funkcije točka $x=1$ , torej je $\log _a 1=0$ . Za $a>1$ je logaritemska funkcija strogo naraščajoča (njen graf je na sliko 10.3 na levi) in za $a\in(0,1)$ je logaritemska funkcija strogo padajoča (njen graf je na sliko 10.3 na desni). Logaritmu z osnovo $e$ pravimo naravni logaritem in ga pišemo $\log _e x=\ln x$ .

Slika 10.3: Grafa logaritemske funkcije.

Primer 10.19: Izračunajmo limito $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln {(1+x)}}{x}$ .

Z uporabo formule $a\cdot \ln b=\ln (b^a)$ lahko napišemo

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln {(1+x)}}{x}=\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x}\right) \cdot \ln{(1+x)}= \lim_{x \to 0}\ln\left( \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}\right).$

Ker je logaritemska funkcija zvezna, lahko napišemo

$\lim_{x \to 0}\ln\left( \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}\right)=\ln (\lim_{x \to 0}\left( \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}\right))=\ln e=1,$

na podlagi limite v primeru 10.17.

V bolj splošnem primeru imamo temeljno limito

$\lim_{x \to \alpha} f(x) =0 \Longrightarrow\lim_{x \to \alpha} \frac{\ln (1+ f(x))}{f(x)}=1.~~(2)$

Primer 10.20: Izračunajmo limito $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln {(1+3x)}}{\ln (1+7x)}$ .

Uredimo dano funkcijo, da lahko uporabimo formulo (2):

$\lim_{x \to 0} \frac{\ln {(1+3x)}}{\ln (1+7x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\boxed{\frac{\ln(1+3x)}{3x}}^{\nearrow 1} \cdot 3x}{\boxed{\frac{\ln(1+7x)}{7x}}_{\searrow 1} \cdot 7x} =\frac{3}{7}.$

Primer 10.21: Izračunajmo limito $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x \cdot \ln\left(\frac{x}{x+1}\right)$ .

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x \cdot \ln\left(\frac{x}{x+1}\right) &=\lim_{x \to +\infty} x \cdot \ln\left(1+\frac{x}{x+1}-1\right)$

$=\displaystyle \lim_{x \to +\infty} x \cdot \ln\left(1+\frac{-1}{x+1}\right)$

$=\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x \cdot \boxed{\frac{\ln\left(1+\frac{-1}{x+1}\right)}{-\frac{1}{x+1}}}_{\searrow 1} \cdot \left(- \frac{1}{x+1}\right)$

$=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}-\frac{x}{x+1} = -1,$

kjer smo upoštevali, da je $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{x+1}=0$ , in smo zato uporabili formulo (2).

Izrek 10.4 [5,9] : Velja $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}= \ln a$ , ker je $a>0, a\neq 1$ . Velja tudi limita

$\lim_{x \to \alpha} \frac{a^{f(x)}-1}{f(x)} = \ln a,$

kjer je $\displaystyle\lim_{x \to \alpha} f(x) =0$ .

Primer 10.22: Izračunajmo limito $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{2^{3x}-1}{x}.$

$\lim_{x \to 0}\dfrac{2^{3x}-1}{x}=\lim_{x \to 0}\boxed{\dfrac{2^{3x}-1}{3x}}_{\searrow \ln 2}\cdot \frac{3x}{x}=3\ln 2=\ln 8.$

Primer 10.23: Izračunajmo limito $\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{3x^2+x-4}{2^{3x-3}-1}.$

$\lim_{x \to 1}\dfrac{3x^2+x-4}{2^{3x-3}-1}=\lim_{x \to 1}\dfrac{3\cdot (x-1)\cdot (x+\frac{4}{3})}{2^{3x-3}-1}=\lim_{x \to 1}\dfrac{(3x-3)\cdot (x+\frac{4}{3})}{\boxed{\dfrac{2^{3x-3}-1}{3x-3}}_{\searrow \ln 2}\cdot (3x-3)}=\dfrac{7}{3}\cdot\frac{1}{\ln 2}=\dfrac{7}{3\ln 2}.$

Primer 10.24: Izračunajmo limito $\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x-1}{e^x-e}.$

$\lim_{x \to 1}\dfrac{x-1}{e^x-e}=\lim_{x \to 1}\dfrac{x-1}{e\cdot (e^{x-1}-1)}=\lim_{x \to 1}\dfrac{x-1}{e\cdot \boxed{\dfrac{e^{x-1}-1}{x-1}}_{\searrow \ln e=1}\cdot (x-1)}=\dfrac{1}{e}.$

Trigonometrične funkcije

Najprej se spomnimo grafov štirih temeljnih funkcij (glej sliko 10.4).

Slika 10.4: Grafi trigonometričnih funkcij.

Funkciji sinus in kosinus sta periodični z osnovno periodo $2\pi$ , tangens in kotangens pa s periodo $\pi$ . To pomeni, da velja $\sin (x+2k\pi)=\sin x, \cos (x+2k\pi)=\cos x, \tan (x+k\pi)=\tan x$ ter $\cot (x+k\pi)=\cot x$ , za poljubno $k\in\mathbb{Z}$ .

Funkcija kosinus je soda, torej je $\cos x= \cos (-x)$ , funkcije sinus, tangens in kotangens pa so lihe: $\sin (-x)=- \sin x, \tan (-x)= -\tan x$ in $\cot (-x)=-\cot x$ .

Najpomembnejše formule s trigonometričnimi funkcijami so:

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$ ;
$\sin(2x)= 2\sin x\cdot \cos x$ ;
$\cos(2x)=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x=\cos^2 x-\sin^2 x$ ;
$1-\cos x=2 \sin^2 (\dfrac{x}{2})$ .

Takoj opazimo še naslednje lastnosti:

$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\sin x$ ne obstaja;
$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty}\cos x$ ne obstaja;
$\displaystyle\lim_{x \to a}\sin x = \sin a$ ;
$\displaystyle\lim_{x \to a}\cos x = \cos a$ ;
$\displaystyle\lim_{x \to(\frac{\pi}{2})^+}\tan x = -\infty$ ;
$\displaystyle\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-}\tan x = +\infty$ ;
$\displaystyle\lim_{x \to 0^-}\cot x = -\infty$ ;
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\cot x = +\infty$ .

Izrek 10.5 [Izrek o sendviču] [5]: Če je $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ in je $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to x_0} h(x) = L$ za vse $x$ blizu $x_0$ (razen za $x=x_0$ ), potem obstaja tudi limita $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x)$ in je enaka $L$ .

Primer 10.25: Dokažimo, da je $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ .

Potem velja tudi

$\lim_{x \to \alpha} f(x) = 0 \Longrightarrow \lim_{x \to \alpha} \frac{\sin (f(x))}{f(x)} = 1.~~(3)$

Ker je $\sin x< x <\tan x$ , če neenačbo delimo s $\sin x$ , dobimo $1<\dfrac{x}{\sin x}<\dfrac{1}{\cos x}$ , kar zapišemo v obliki

$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$

Zdaj, po izreku 10.5, sledi $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ , saj je $\displaystyle\lim_{x\to 0}\cos x=\cos 0=1$ .

Primer 10.26: Dokažimo, da je $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 \cdot\sin \frac{1}{x} = 0.$

Ker je funkcija sinus omejena, dobimo

$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1,$

in če pomnožimo z $x^2$ , neenačba postane

$-x^2 \leq x^2 \cdot\sin\frac{1}{x} \leq x^2.$

Po izreku 10.5 sledi $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 \cdot \sin \frac{1}{x} = 0,$ saj je $\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ .

Primer 10.27: Izračunajmo limito $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}$ .

$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{\cos x} \cdot\frac{1}{x}= \lim_{x \to 0}\boxed{\frac{\sin x}{x}}_{\searrow 1}\cdot\frac{1}{\cos x}=1\cdot\frac{1}{\cos 0}= 1.$

Primer 10.28: Izračunajmo limito $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin (7x)}{\sin (5x)}$ .

$\displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{\sin (7x)}{\sin (5x)} =\lim_{x \to 0}\dfrac{\boxed{\frac{\sin (7x)}{7x}}^{\nearrow 1} \cdot 7x}{\boxed{\frac{\sin (5x)}{5x}}_{\searrow 1}\cdot 5x} =\frac{7}{5}.}$

Primer 10.29: Izračunajmo limito $\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2}$ .

$\displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{2\cdot\sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}\cdot 4} = \frac{1}{2}\cdot \boxed{\dfrac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}_{\searrow 1} \cdot \boxed{\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}_{\searrow 1}= \frac{1}{2}.}$

Primer 10.30: Izračunajmo limito $\lim_{x \to 0}(2 - \cos x)^{\frac{1}{x^2}}$ .

Ker je dana limita v nedoločeni obliki $[1^{\infty}]$ , uporabimo formulo (1):

$\displaystyle\lim_{x \to 0}(2 - \cos x)^{\frac{1}{x^2}} &= \lim_{x \to 0}(1 + 1 - \cos x)^{\frac{1}{x^2}}$

$=\displaystyle\lim_{x \to 0} \left[ \left(1 + \frac{1}{\frac{1}{1-\cos x}}\right)^{\frac{1}{1- \cos x}} \right]^{\frac{1- \cos x}{x^2}}$

$= e^{\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}}$

$= e^{\frac{1}{2}}$

$= \sqrt{e}.$

Primer 10.31: Izračunajmo limito $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{x^2}-\cos x}{x^2}.$

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2}-\cos x}{x^2} &= \lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2}-1+1-\cos x}{x^2}$

$= \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2}-1}{x^2}+ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$

$=\ln e+\dfrac{1}{2}=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}.$

Tabela najpomembnejših limit

$\displaystyle\lim_{x \to \alpha} f(x) = +\infty \Longrightarrow \lim_{x \to \alpha} \left( 1+ \frac{1}{f(x)} \right)^{f(x)} = e$
$\displaystyle\lim_{x \to \alpha} f(x) = 0 \Longrightarrow \lim_{x \to \alpha}\frac{\ln (1+f(x))}{f(x)}= 1$
$\displaystyle\lim_{x \to \alpha} f(x) = 0 \Longrightarrow \lim_{x \to \alpha}\frac{a^{f(x)}-1}{f(x)}= \ln a$
$\displaystyle\lim_{x \to \alpha} f(x) = 0 \Longrightarrow \lim_{x \to \alpha}\frac{\sin (f(x))}{f(x)}= 1$
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\)$

10 Limita funkcije

Limita elementarnih funkcij

License

Share This Book