Lokalni ekstremi

Irina Cristea; Hashem Bordbar; Alessandro Linzi

17 Lokalni ekstremi

Lokalni minimum funkcije $f$ v točki $x_0$ je minimum dane funkcije v neki okolici $(x_0-\delta, x_0+\delta), \delta>0$ ; torej na tem intervalu velja $f(x)\geq f(x_0)$ . Lokalni maksimum funkcije $f$ v točki $x_0$ je maksimum dane funkcije v neki okolici $(x_0-\delta, x_0+\delta), \delta>0$ ; torej na tem intervalu velja $f(x)\leq f(x_0)$ . Če ima funkcija $f$ v točki $x_0$ lokalni minimum ali lokalni maksimum, pravimo, da ima $f$ v točki $x_0$ lokalni ekstrem.

Definicija 17.1: Naj bo funkcija $f: (a,b) \longrightarrow \mathbb{R}$ odvedljiva. Točki $x \in (a,b),$ kjer je $f'(x) = 0$ , pravimo stacionarna točka funkcije $f.$

Slika 17.1: Tangenta na graf funkcije v stacionarni točki $x_0$ je vzporedna z abscisno osjo.

Naslednji pomemben izrek pravi, da se lokalni ekstremi uvrščajo med stacionarne točke.

Izrek 17.1 (Fermatov izrek) [5]: Če ima odvedljiva funkcija $f$ v točki $x_0$ lokalni ekstrem, je $f'(x_0) = 0$ .

Pomen in uporaba prvega odvoda

Izrek 17.2 [5, 10]: Naj bo funkcija $f: (a,b) \longrightarrow \mathbb{R}$ odvedljiva. Tedaj velja:

$f'(x) \geq 0$ za vsak $x \in (a,b) \Longleftrightarrow f$ je naraščajoča,
$f'(x) > 0$ za vsak $x \in (a,b) \Longrightarrow f$ je strogo naraščajoča,
$f'(x) \leq 0$ za vsak $x \in (a,b) \Longleftrightarrow f$ je padajoča,
$f'(x) < 0$ za vsak $x \in (a,b) \Longrightarrow f$ je strogo padajoča.

Pomen in uporaba drugega odvoda

Izrek 17.3 [5,10]: Naj bo $f$ odvedljiva funkcija v neki okolici točke $x_0$ in naj bo $f'(x_0)=0$ . Tedaj velja:

če je $f''(x_0) < 0$ , potem je v točki $x_0$ lokalni maksimum,
če je $f''(x_0) > 0$ , potem je v točki $x_0$ lokalni minimum.

Primer 17.1: Poiščimo vse ekstreme funkcije $f(x) = x\cdot e^{3x+1}$ .

Najprej poiščemo stacionarne točke dane funkcije; to so ničle prvega odvoda.

Ker je $f'(x)=e^{3x+1}+x\cdot e^{3x+1}\cdot (3x+1)'=e^{3x+1}\cdot (1+3x)$ , dobimo, da je $x=-\dfrac{1}{3}$ sama rešitev enačbe $f'(x)=0$ . Izračunati moramo vrednost drugega odvoda dane funkcije v stacionarni točki, zato izračunamo drugi odvod funkcije $f$ :

$f''(x)=e^{3x+1}\cdot 3\cdot (3x+1)+e^{3x+1}\cdot 3=e^{3x+1}\cdot (6+9x).$

Iz tega sledi, da je $f''(-\dfrac{1}{3})=3>0$ , kar pomeni, da ima funkcija $f$ v točki $-\dfrac{1}{3}$ lokalni minimum.

Primer 17.2: Poiščimo vse ekstreme funkcije $f(x)=x^2\cdot e^{-x}$ ter intervale naraščanja in padanja.

Stacionarne točke so ničle prvega odvoda. Odvajamo dano funkcijo in dobimo

$f'(x)=2x\cdot e^{-x}-x^2\cdot e^{-x}= e^{-x}\cdot (2x-x^2).$

Torej je

$f'(x)=0\Longleftrightarrow x\cdot (2-x)=0\Longleftrightarrow x=0 \vee x=2.$

Zdaj izračunamo drugi odvod funkcije $f$ :

$f''(x)=-e^{-x}\cdot (2x-x^2)+e^{-x}\cdot (2-2x)=e^{-x}\cdot (x^2-4x+2),$

zato je $f''(0)=2>0$ in $f''(2)=-2e^{-2}<0$ , torej ima funkcija $f$ v točki $x=0$ lokalni minimum, v točki $x=2$ pa lokalni maksimum.

Predznak prvega odvoda bomo preučili na podlagi tabele 17.1. V prvi vrstici zapišemo stacionarne točke, v drugi pa predznak in vrednost prvega odvoda v stacionarnih točkah.

Za popolnost študije izračunamo še limite funkcije, ko gre $x$ proti $\pm \infty$ :

$\begin{align*} \lim_{x\to -\infty} f(x)&= \lim_{x\to -\infty} x^2\cdot e^{-x}= (-\infty)^2\cdot e^{+\infty}=+\infty,\\ \lim_{x\to +\infty} f(x)&= \lim_{x\to +\infty} x^2\cdot e^{-x}= \lim_{x\to +\infty} \dfrac{x^2}{e^x}=0. \end{align*}$

(Zadnjo limito lahko izračunamo po L’Hopitalovem pravilu, ki ga obravnavamo v razdelku 20.)

Tabela 17.1: Intervali naraščanja in padanja funkcije $f(x) = x^2 \cdot e^{-x}$ .

Tabela 17.1: Intervali naraščanja in padanja funkcije $f(x) = x^2 \cdot e^{-x}$ .

Torej, funkcija $f$ na intervalu $(0,2)$ narašča ter pada na uniji intervalov $(-\infty, 0)\cup (2, +\infty)$ .

17 Lokalni ekstremi

License

Share This Book