Obratna (inverzna) matrika (II)

Irina Cristea; Hashem Bordbar; Alessandro Linzi

4 Obratna (inverzna) matrika (II)

Spomnimo se, da je kvadratna matrika $A$ reda $n$ obrnljiva, če obstaja njena inverzna matrika $A^{-1}$ ; to pomeni, da je $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_n$ .

Izrek 4.1 [1,5]: Naj bo $A$ kvadratna matrika. Inverzna matrika $A^{-1}$ obstaja natanko tedaj, ko je $\det(A)\neq 0$ , in potem velja

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot B_A,$

kjer je $B_A$ prirejenka matrike $A$ ali adjungirana matrika matrike $A$ , definirana kot transponiranka matrike kofaktorjev elementov matrike $A$ , tj.

$B_A= \begin{pmatrix} k_{11}&k_{12}&\ldots&k_{1n}\\ k_{21}& k_{22}&\ldots& k_{2n}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ k_{n1}& k_{n2}&\ldots& k_{nn} \end{pmatrix}^T.$

Primer 4.1: Poiščimo inverzno matriko matrike $A = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 2& 1 \end{pmatrix}$ .

Najprej izračunamo determinanto matrike $A$ : $\det(A)= \begin{vmatrix} 2 & 4\\ 2& 1 \end{vmatrix}=-6$ . Ker je $\det(A)\neq 0$ , je matrika $A$ obrnljiva, torej obstaja $A^{-1}$ .

Zdaj izračunamo kofaktorje elementov matrike $A$ :
$k_{11} = (-1)^{1+1} \cdot 1= 1, k_{12} = (-1)^{1+2} \cdot 2 = -2, k_{21} = (-1)^{2+1} \cdot 4 = -4, k_{22} = (-1)^{2+2} \cdot 2 = 2.$

Sledi, da je

$A^{-1} =-\dfrac{1}{6} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2\\ -4& 2 \end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{6} & \dfrac{4}{6}\\ &\\ \dfrac{2}{6}& -\dfrac{2}{6} \end{pmatrix}.$

Primer 4.2: Poiščimo inverzno matriko matrike $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 2 & -1 & 3\\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}.$

Izračunamo determinanto matrike $A$ z razvojem po prvi vrstici in dobimo
$\det(A) = 0 + 0 + (-1)^{1+3}\cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3$ . Torej je matrika $A$ obrnljiva. Zdaj izračunamo vse kofaktorje elementov matrike $A$ :

$k_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3\\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -7, k_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -5,$

$k_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3,$

$k_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -1, k_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -1,$

$k_{23} = (-1)^{2+3} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0,$

$k_{31} = (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1\\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 1, k_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -2,$

$k_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0\\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 0.$

Zdaj lahko zapišemo inverzno matriko:

$A^{-1} =\dfrac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} -7 & 1 & 1 \\ -5 & -1 & 2\\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -\dfrac{7}{3} & \dfrac{1}{3}& \dfrac{1}{3} \\ &&\\ -\dfrac{5}{3}& -\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3}\\ &&\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

Primer 4.3: Dani sta matriki $A = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ in $B = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ . Poiščimo tako matriko $X$ , da je $A\cdot X\cdot A= B$ .

Ker je $\det(A) \neq 0$ , je matrika $A$ obrnljiva. Obe strani enačbe $A\cdot X\cdot A= B$ lahko pomnožimo z $A^{-1}$ in dobimo

$A^{-1}\cdot A\cdot X\cdot A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot B\cdot A^{-1} \Leftrightarrow X = A^{-1}\cdot B\cdot A^{-1}.$

Ker je
$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ , dobimo

$X = \begin{pmatrix} 2 & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1& 1\\ 2 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & -3\\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1& -2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$

Primer 4.4: Rešimo matrično enačbo $A^T\cdot X + 2\cdot X = 2\cdot A + I_3$ , kjer je

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \\ -2 & -4 & -1 \end{pmatrix}$ .

Najprej uredimo dano enačbo tako, da dobimo formulo za neznanko $X$ . Če $X$ izpostavimo, na levi strani dobimo $(A^T + 2\cdot I_3) \cdot X = 2\cdot A + I_3$ . Če je matrika $A^T + 2\cdot I_3$ obrnljiva, dobimo rešitev $X = (A^T + 2\cdot I_3)^{-1} \cdot (2\cdot A + I_3)$ . V to formulo vstavimo matriko $A$ in identično matriko $I_3$ ter dobimo:

$\begin{array}{lll}X&=& \left[ \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 2 & 4 & -4 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \right]^{-1} \cdot$

$\left[ \begin{pmatrix} 6 & 4 & 4 \\ 2 & 8 & 2 \\ -4 & -8 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right]$

$&=& \begin{pmatrix} 5 & 1 & -2 \\ 2 & 6 & -4 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 4 & 4 \\ 2 & 9 & 2 \\ -4 & -8 & -1 \end{pmatrix}$

$&=& \begin{pmatrix} \dfrac{2}{11} & -\dfrac{1}{22} & \dfrac{1}{11} \\ &&\\ -\dfrac{3}{22} & \dfrac{7}{44} & \dfrac{2}{11} \\ &&\\ -\dfrac{5}{44} & -\dfrac{3}{88} & \dfrac{7}{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 & 4 & 4 \\ 2 & 9 & 2 \\ -4 & -8 & -1 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} \dfrac{9}{11} & -\dfrac{9}{22} & \dfrac{6}{11} \\ &&\\ -\dfrac{15}{11} & -\dfrac{25}{44} & -\dfrac{9}{22} \\ &&\\ -\dfrac{47}{22} & -\dfrac{291}{88} & -\dfrac{37}{44} \end{pmatrix}. \end{array}$

Računanje inverzne matrike z elementarnimi operacijami
Druga metoda za izračun inverzne matrike obrnljive matrike je uporaba tako imenovanih elementarnih operacij med vrsticami. Te operacije so:

$(E_1)$ med seboj zamenjamo dve vrstici;
$(E_2)$ vrstico pomnožimo z neničelnim realnim številom;
$(E_3)$ posamezni vrstici prištejemo večkratnik neke druge vrstice.
S simboli je zamenjava $i$ -te in $j$ -te vrstice označena z $V_i \leftrightarrow V_j$ in množenje vrstice $V_i$ s konstanto $k$ , kjer je $k \neq 0$ , z $V_i \rightarrow k V_i$ . Podobno prištetje $k$ -kratnika $j$ -te vrstice k $i$ -ti vrstici označimo z $V_i \rightarrow V_i + kV_j$ (na kratko pišemo $V_i + kV_j$ ).

Da bi izračunali inverzno matriko obrnljive matrike reda $n$ , sestavimo novo matriko velikosti $n\times 2n$ tako, da dodamo identično matriko $I_n$ reda $n$ na desni strani matrike $A$ . Za novo matriko uporabimo elementarne operacije, da dobimo identično matriko na levi strani (kjer je bila $A$ na začetku), matrika na desni strani pa bo inverzna matrika matrike $A$ .

Najprej naredimo ničle v prvem stolpcu, na pozicijah pod glavno diagonalo, z uporabo elementarnih operacij med vrstico $V_i$ , $i\geq 2$ in $V_1$ . Ko naredimo ničle v drugem stolpcu, spet na pozicijah pod glavno diagonalo, bomo elementarne operacije uporabili med drugo vrstico in vrstico $V_i$ , $i\geq 3$ , ki jo bomo modificirali. Postopek nadaljujemo, dokler niso vsi elementi pod glavno diagonalo enaki $0$ . Nato postopek ponovimo za elemente nad glavno diagonalo, začenši z zadnjim stolpcem.

Primer 4.5: Z uporabo elementarnih operacij med vrsticami poiščimo inverz matrike

$\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & -1 \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Uporabimo zgornje elementarne operacije $(E_1)-(E_3)$ za matriko $\begin{pmatrix} 1 & 2 &\lvert& 1&0\\ 2 & -1&\lvert& 0&1 \end{pmatrix}$ .

Z naslednjo operacijo najprej naredimo ničlo na poziciji pod glavno diagonalo:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 &\lvert& 1&0\\ 2 & -1&\lvert& 0&1 \end{pmatrix} \xrightarrow {V_2-2V_1}\begin{pmatrix} 1 & 2 &\lvert& 1&0\\ 0 & -5&\lvert& -2&1 \end{pmatrix}.$

Po pretvorbi vseh elementov na glavni diagonali v $1$ naredimo ničle na pozicijah nad glavno diagonalo. V tem primeru moramo narediti ničlo na poziciji $(1,2)$ :
$\begin{pmatrix} 1 & 2 &\lvert& 1&0\\ 0 & -5&\lvert& -2&1 \end{pmatrix}\xrightarrow{V_2\rightarrow -\frac{1}{5}V_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 &\lvert& 1&0\\ 0 & 1&\lvert& \dfrac{2}{5}&-\dfrac{1}{5} \end{pmatrix}\xrightarrow{ V_1-2V_2} \begin{pmatrix} 1 & 0&\lvert& \dfrac{1}{5}&\dfrac{2}{5}\\ 0 & 1&\lvert& \dfrac{2}{5}&-\dfrac{1}{5} \end{pmatrix}.$

Na desni strani zadnje matrike preberemo inverzno matriko matrike $A$ :

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{5} & \dfrac{2}{5}\\ & \\ \dfrac{2}{5} & -\dfrac{1}{5} \end{pmatrix}.$

Primer 4.6: Z uporabo elementarnih operacij poiščimo inverz matrike

$\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Najprej napišemo novo matriko $(A\vert I_3)$ :

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2&\lvert&1&0&0\\ 1 & 2 & 3&\lvert&0&1&0\\ 3 & 1 & 1&\lvert&0&0&1 \end{pmatrix}$

Ker morajo biti na glavni diagonali matrike v levem bloku vsi elementi enaki $1$ , najprej zamenjamo vrstico $V_1$ z vrstico $V_2$ , torej naredimo operacijo $V_1\leftrightarrow V_2$ :

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&\lvert&0&1&0\\ 0 & 1 & 2&\lvert&1&0&0\\ 3 & 1 & 1&\lvert&0&0&1 \end{pmatrix}.$

Pod glavno diagonalo začnemo oblikovati ničle:
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&\lvert&0&1&0\\ 0 & 1 & 2&\lvert&1&0&0\\ 3 & 1 & 1&\lvert&0&0&1 \end{pmatrix}\xrightarrow {V_3-3V_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&\lvert&0&1&0\\ 0 & 1 & 2&\lvert&1&0&0\\ 0 & -5 & -8&\lvert&0&-3&1 \end{pmatrix}\xrightarrow {V_3+5V_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&\lvert&0&1&0\\ 0 & 1 & 2&\lvert&1&0&0\\ 0 & 0 & 2&\lvert&5&-3&1 \end{pmatrix}.$

Ko ustvarimo $1$ na poziciji $(3,3)$ , ponovimo postopek pridobivanja ničel nad glavno diagonalo matrike, zapisane v levem bloku: najprej v tretjem stolpcu, nato pa v drugem:

$\left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 3&\lvert&0&1&0\\ 0 & 1 & 2&\lvert&1&0&0\\ 0 & 0 & 2&\lvert&5&-3&1 \end{array}\right) \xrightarrow {V_3\rightarrow \frac{1}{2}V_3}\left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 3&\lvert&0&1&0\\ 0 & 1 & 2&\lvert&1&0&0\\ 0 & 0 & 1&\lvert&\dfrac{5}{2}&-\dfrac{3}{2}&\dfrac{1}{2} \end{array}\right)$

$\xrightarrow[V_1-3V_3] {V_2-2V_3}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0&\lvert&-\dfrac{15}{2}&\dfrac{11}{2}&-\dfrac{3}{2}\\ 0 & 1 & 0&\lvert&-4&3&-1\\ 0 & 0 & 1&\lvert&\displaystyle\dfrac{5}{2}&-\displaystyle\frac{3}{2}&\displaystyle\frac{1}{2} \end{pmatrix}\xrightarrow {V_1-2V_2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0&\lvert&\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\ 0 & 1 & 0&\lvert&-4&3&-1\\ 0 & 0 & 1&\lvert&\dfrac{5}{2}&-\dfrac{3}{2}&\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ .

Torej je $A^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1\\ \dfrac{5}{2} & -\dfrac{3}{2} & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ .

Primer 4.7: Poiščimo inverz matrike

$\begin{equation*}A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\ 0 & 3 & 1\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation*}$

Z naslednjim zaporedjem operacij

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1&\!\!\vert &1&0&0\\ & & & & & & \\ 0 & 3 & 1&\!\!\vert &0&1&0\\ & & & & & & \\ 2 & 1 & 0&\!\!\vert &0&0&1 \end{pmatrix} \xrightarrow {V_1\rightarrow V_3-2V_1}\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1&\!\!\lvert &1&0&0\\ & & & & & & \\ 0 & 3 & 1&\!\!\lvert &0&1&0\\ & & & & & & \\ 0 & -3 & 2&\!\!\lvert &-2&0&1 \end{pmatrix}\bigskip$

$\xrightarrow {V_3\rightarrow V_3+V_2}\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1&\!\!\!\lvert &1&0&0\\ & & & & & & \\ 0 & 3 & 1&\!\!\!\lvert &0&1&0\\ & & & & & & \\ 0 & 0 & 3&\!\!\!\lvert &-2&1&1 \end{pmatrix}\xrightarrow {V_3\rightarrow \frac{1}{3}V_3}\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1&\!\!\lvert &1&0&0\\ & & & & & & \\ 0 & 3 & 1&\!\!\lvert &0&1&0\\ & & & & & & \\ 0 & 0 & 1&\!\!\lvert &-\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}\bigskip$

$\xrightarrow {V_2\rightarrow V_2-V_3}\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1&\!\!\lvert &1&0&0\\ & & & & & & \\ 0 & 3 & 0&\!\!\lvert &\dfrac{2}{3}&\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\\ & & & & & & \\ 0 & 0 & 1&\!\!\lvert &-\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}\xrightarrow {V_2\rightarrow \frac{1}{3}V_2}\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1&\!\!\lvert &1&0&0\\ & & & & & & \\ 0 & 1 & 0&\!\!\lvert &\dfrac{2}{9}&\dfrac{2}{9}&-\dfrac{1}{9}\\ & & & & & & \\ 0 & 0 & 1&\!\!\lvert &-\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}\bigskip$

$\xrightarrow {V_1+V_3}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0&\!\!\lvert &\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\ & & & & & & \\ 0 & 1 & 0&\!\!\lvert &\dfrac{2}{9}&\dfrac{2}{9}&-\dfrac{1}{9}\\ & & & & & & \\ 0 & 0 & 1&\!\!\lvert &-\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}\xrightarrow {V_1-2V_2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0&\!\!\lvert &-\dfrac{1}{9}&-\dfrac{1}{9}&\dfrac{5}{9}\\ & & & & & & \\ 0 & 1 & 0&\!\!\lvert &\dfrac{2}{9}&\dfrac{2}{9}&-\dfrac{1}{9}\\ & & & & & & \\ 0 & 0 & 1&\!\!\lvert &-\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3} \end{pmatrix},\bigskip$

dobimo, da je inverzna matrika matrike $A$ enaka $A^{-1} = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{9} & -\dfrac{1}{9} & \dfrac{5}{9} \\ & & \\ \dfrac{2}{9} & \dfrac{2}{9} & -\dfrac{1}{9} \\ & & \\ -\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}$ .

4 Obratna (inverzna) matrika (II)

License

Share This Book