Risanje grafov funkcij

Irina Cristea; Hashem Bordbar; Alessandro Linzi

19 Risanje grafov funkcij

Pri risanju grafov funkcij poiščemo ali izračunamo naslednje elemente:

domeno $D_f$ ali definicijsko območje;
eventualne ničle in pole;
limite (na robu definicijskega območja) in eventualne asimptote (vodoravne, poševne, navpične);
eventualne stacionarne točke in lokalne ekstreme;
intervale naraščanja in padanja funkcij;
prevoje ter intervale konveksnosti in konkavnosti funkcij.

Primer 19.1: Skicirajmo graf funkcije $f$ , podane s predpisom $f(x)= \dfrac{2x}{x^2+1}$ .

Dana funkcija je racionalna, torej je definirana, kjer je imenovalec različen od $0$ . V našem primeru, to je $x^2+1$ , je pri $\mathbb{R}$ vedno različen od $0$ . Torej je domena funkcje: $D_f = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$ .
Ničle racionalne funkcije so ničle števca, torej je
$f(x) = 0 \Longleftrightarrow 2x=0 \Longleftrightarrow x=0.$

Poli so ničle imenovalca. V našem primeru funkcija nima polov.
Poiščemo vse eventualne asimptote.
I) Ker funkcija nima polov, nima niti navpičnih asimptot.
II) Zdaj izračunamo limite dane funkcije, ko gre $x$ proti $\pm\infty$ :
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x^2+1} = 0^+$
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{x^2+1} = 0^-$
Torej, premica $y=0$ je vodoravna asimptota.
III) Funkcija nima poševnih asimptot, ker ima vodoravno asimptoto.
Poiščemo stacionarne točke. To so ničle prvega odvoda:
$f'(x) = \frac{(2x)' \cdot (x^2+1) - 2x \cdot (x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}.$
Ker je
$f'(x) = 0 \Longleftrightarrow -2x^2+2 =-2\cdot (x^2-1)=0 \Longleftrightarrow x^2-1=0,$
sta $x_1 = -1$ in $x_2=1$ stacionarni točki.
Zdaj izračunamo vrednost drugega odvoda funkcije $f$ v stacionarnih točkah. Ker je
$f''(x) {=} \left(\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}\right)' {=} \frac{-4x \cdot (x^2+1)^2 - (-2x^2+2) \cdot (2\cdot (x^2+1) \cdot 2x)}{(x^2+1)^4}{=}\frac{4x(x^2-3)}{(x^2+1)^3},$
dobimo
$f''(-1) = \frac{4\cdot (-1) \cdot(-2)}{2^3} >0,$
kar pomeni, da je v točki $x=-1$ lokalni minimum ter je
$f''(1) = \frac{4\cdot 1\cdot(-2)}{2^3} <0,$
zato je v točki $x=1$ lokalni maksimum. Poiščemo tudi prevoje in dobimo $f''(x) = 0 \Longleftrightarrow 4x\cdot (x^2-3)=0$ , torej so točke $x=0$ , $x=\sqrt{3}$ in $x=-\sqrt{3}$ prevoji funkcije.
Najprej preštudiramo predznak prvega odvoda
$f'(x)=\frac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}.$
Števec $(x^2+1)^2$ je povsod pozitiven, imenovalec pa je polinom stopnje $2$ , torej je njegov graf parabola (glej sliko 19.1). To je konkavna parabola, ker je vodilni koeficient, tj. $-2$ , negativen.

Slika 19.1: Graf polinomske funkcije $g(x) = -2x^2 +2$ .

Preštudiramo še predznak drugega odvoda, ki je podan le s predznakom števca, saj je imenovalec $(x^2+1)^3$ pozitiven za vse $x$ v domeni funkcije.
V naslednji tabeli bomo povzeli vse podatke, ki smo jih pridobili v prejšnjih točkah, in ugotovili intervale naraščanja oziroma padanja ter konveksnosti oziroma konkavnosti funkcije $f$ .
Funkcija je naraščajoča na $(-1, 1)$ ter padajoča na $(-\infty, -1)\cup (1, +\infty).$ Poleg tega vidimo, da je funkcija konveksna na $(-\sqrt{3}, 0)\cup (\sqrt{3}, +\infty)$ in konkavna na $(-\infty, -\sqrt{3})\cup (0, \sqrt{3})$ .
Na podlagi prejšnje tabele bomo narisali graf funkcije (glej sliko 19.2).

Slika 19.2: Graf racionalne funkcije $f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$ .

Primer 19.2: Skicirajmo graf funkcije $f$ , podane s predpisom $f(x)= \dfrac{1}{4} \cdot (x^2-9) \cdot (x^2-1).$

Dana funkcija je polinomska funkcija, torej je povsod definirana in je njena domena $D_f = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty).$
Ničle funkcije so rešitve enačbe
$f(x) = 0 \Longleftrightarrow (x^2-9) \cdot (x^2-1)=(x-3)\cdot (x+3)\cdot (x-1)\cdot (x+1)=0.$
Torej ima fukcija $4$ ničle: $x_1=3, x_2=-3, x_3=1, x_4=-1.$ Funkcija nima polov.
Poiščemo vse eventualne asimptote.
I) Ker funkcija nima polov, nima niti navpičnih asimptot.
II) Zdaj izračunamo limite dane funkcije, ko gre $x$ proti $\pm\infty$ :
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{4} \cdot (x^2-9) \cdot (x^2-1) = +\infty,$
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{4} \cdot (x^2-9) \cdot (x^2-1) = +\infty.$
To pomeni, da funkcija nima vodoravnih asimptot.
III) Ugotoviti moramo, ali ima funkcija poševno asimptoto, zato izračunamo
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = +\infty,$
kar pomeni, da funkcija nima niti poševne asimptote.
Poiščemo stacionarne točke. To so ničle prvega odvoda s predpisom
$f'(x) = \frac{1}{4}\cdot [ 2x \cdot (x^2-1) + (x^2-9) \cdot 2x] = \frac{1}{2} x \cdot (2x^2-10)= x \cdot (x^2-5).$
Ker je $f'(x) = 0 \Longleftrightarrow x \cdot (x^2-5) =0$ , sledi, da so stacionarne točke $x_1 = 5, x_6=-\sqrt{5}$ in $x_7= \sqrt{5}.$
Zdaj izračunamo vrednost drugega odvoda funkcije $f$ v stacionarnih točkah.
Še enkrat odvajamo prvi odvod funkcije $f$ in dobimo $f''(x) = 3x^2-5$ . Sledi, da je $f''(0) = -5 < 0$ , kar pomeni, da je v točki $x_1= 0$ lokalni maksimum. Ker je $f''(\pm \sqrt{5}) = 10 > 0$ , ugotovimo, da sta v točkah $x_6=-\sqrt{5}$ in $x_7=\sqrt{5}$ lokalna minimuma.
Poiščemo tudi prevoje in dobimo
$f''(x) = 0 \Longleftrightarrow 3x^2-5=0 \Longleftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}.$
Torej, točki $x_8=\sqrt{\frac{5}{3}}$ in $x_9 = - \sqrt{\frac{5}{3}}$ sta prevoja funkcije $f$ .
V naslednji tabeli bomo povzeli vse podatke, ki smo jih pridobili v prejšnjih točkah, in ugotovili intervale naraščanja oziroma padanja funkcije $f$ . Najprej izračunamo še nekaj vrednosti funkcije $f$ :
$f(-\sqrt{5})=\frac{1}{4}\cdot (5-9)\cdot (5-1)=-4=f(\sqrt{5}), f(0)=\frac{1}{4}\cdot (0-9)\cdot (0-1)=\frac{9}{4}.$ Funkcija $f$ je naraščajoča na uniji intervalov $[-\sqrt{5}, 0]\cup [\sqrt{5}, +\infty)$ ter padajoča na uniji intervalov $(-\infty, -\sqrt{5}]\cup [0, \sqrt{5}]$ .
Na podlagi prejšnje tabele bomo narisali graf funkcije (glej sliko 19.3).

Slika 19.3: Graf racionalne funkcije $f(x) = \dfrac{1}{4}\cdot (x^2-9)\cdot(x^2-1).$

Slika 19.3: Graf racionalne funkcije $f(x) = \dfrac{1}{4}\cdot (x^2-9)\cdot(x^2-1).$

Ker vemo, da sta prevoja enaka $\pm\sqrt{\frac{5}{3}}$ , z grafa funkcije razberemo, da je funkcija konveksna na uniji intervalov $(-\infty, -\sqrt{\frac{5}{3}})\cup (\sqrt{\frac{5}{3}}, +\infty)$ ter konkavna na intervalu $(-\sqrt{\frac{5}{3}}, \sqrt{\frac{5}{3}})$ .

19 Risanje grafov funkcij

License

Share This Book