Sistemi linearnih enačb

Irina Cristea; Hashem Bordbar; Alessandro Linzi

5 Sistemi linearnih enačb

Sistem $m$ linearnih enačb z $n$ neznankami $x_1, x_2, \ldots, x_n$ je množica enačb

$\begin{equation*} \begin{cases} a_{11}x_1+ a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1+ a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\\ \vdots\\ a_{m1}x_1+ a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}, \end{equation*}$

ki jih lahko zapišemo v matrični obliki kot $Ax=b$ , kjer je $A=(a_{ij})_{m\times n}$ matrika koeficientov sistema, $x=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}$ stolpec $n$ neznank ter $b=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\\vdots\\b_m \end{pmatrix}$ stolpec $m$ desnih strani sistema.

Cramerjevo pravilo

To je posebna metoda za reševanje sistemov linearnih enačb s toliko enačbami kot neznankami, torej ko je matrika koeficientov kvadratna in obrnljiva.

Izrek 5.1 [1,5]: Če je $A$ kvadratna matrika z $det(A) \neq 0$ , je sistem enolično rešljiv in rešitve so

$x_1 = \frac{\det(A_1)}{det(A)}, ~~ x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)},~~\ldots,~~ x_n = \frac{\det(A_n)}{\det(A)},$

kjer je $\det(A_i)$ determinanta matrike $A_i$ , $i=1,2,\ldots, n$ , ki jo dobimo tako, da v matriki $A$ zamenjamo $i$ -ti stolpec s stolpcem desnih strani $b$ .

Primer 5.1: Rešimo naslednji sistem:

$\begin{equation*} \begin{cases} x_1- x_2 + x_3 = -1 \\ 4x_1 - x_2 +2x_3 = -2\\ 2x_1 + x_2 + x_3 = -4 \end{cases}. \end{equation*}$

Matrika koeficientov je $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 4 & -1 & 2\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ in stolpec desnih strani je $b = \begin{pmatrix} -1 \\ -2\\ -4 \end{pmatrix}$ . Najprej se lotimo računanja determinante matrike $A$ , da preverimo, ali je različna od nič, in dobimo $\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1\\ 4 & -1 & 2\\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 3$ . To pomeni, da lahko uporabimo Cramerjevo pravilo. Izračunamo še
$\det(A_1) = \begin{vmatrix} -1 & -1 & 1\\ -2 & -1 & 2\\ -4 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 3$ , $\det(A_2) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1\\ 4 & -2 & 2\\ 2 & -4 & 1 \end{vmatrix} = -6$ in
$\det(A_3) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1\\ 4 & -1 & -2\\ 2 & 1 & -4 \end{vmatrix} = -12$ . Torej je rešitev sistema

$x_1 =\displaystyle\frac{\det(A_1)}{\det (A)} = \frac{3}{3} = 1$ , $x_2 =\displaystyle \frac{\det(A_2)}{\det (A)} = \frac{-6}{3} = -2$ ter
$x_3 =\displaystyle \frac{\det(A_3)}{\det (A)} = \frac{-12}{3} = -4$ .

Gaussova eliminacijska metoda
Pri tej metodi neznanke iz enačb sistematično izločimo tako, da dobimo zgornjetrikotno obliko sistema.

Primer 5.2: Rešimo naslednji sistem:

$\begin{equation*} \begin{cases} 3x- 5y + 2z = -28 \\ 3y + 5z = 7\\ 5z = -5 \end{cases}. \end{equation*}$

Sistem linearnih enačb, ki je v zgornjetrikotni obliki, kot je dani sistem, rešimo od zadnje enačbe proti prvi (torej od najpreprostejše k najzahtevnejši). Torej iz tretje enačbe takoj izračunamo $z = -1$ . Vrednost neznanke $z$ vstavimo v drugo enačbo sistema in izračunamo $y$ . Ker je $3y + 5\cdot (-1) = 7$ , dobimo $y = 4$ . Potem vrednosti neznank $y$ in $z$ vstavimo v prvo enačbo sistema in izračunamo $x$ . Iz enačbe $3x-5\cdot 4+2\cdot (-1)=-28$ sledi, da je $x=-2$ .

Naj bo sistem $Ax=b$ . Če matriki $A$ dodamo še stolpec $b$ , dobimo novo matriko reda $m\times (n+1)$ , ki ji pravimo razširjena matrika sistema, označimo jo z

$\widetilde A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} &\cdots& a_{1n} & \lvert & b_1\\ a_{21} & a_{22} &\cdots& a_{2n} & \lvert & b_2\\ \cdots&\cdots&\cdots & \cdots& \lvert& \cdots\\ a_{m1} & a_{m2} &\cdots& a_{mn} & \lvert & b_m \end{pmatrix}.$

Sistem rešujemo tako, da z operacijami, ki na rešitve sistema ne vplivajo, spreminjamo enačbe, dokler niso zapisane v zgornjetrikotni obliki. Takšne operacije so:

poljubni enačbi zamenjamo;
poljubno enačbo na levi in desni strani pomnožimo (ali delimo) s poljubnim neničelnim številom;
poljubni enačbi prištejemo (ali od nje odštejemo) drugo enačbo, pomnoženo z nekim od $0$ različnim številom.

Pri matriki $\widetilde A$ so te operacije:

poljubni vrstici zamenjamo;
poljubno vrstico pomnožimo (ali delimo) s poljubnim neničelnim številom;
poljubni vrstici prištejemo (ali od nje odštejemo) drugo vrstico, pomnoženo z nekim neničelnim številom.

Gornje operacije imenujemo elementarne vrstične operacije. S temi operacijami dobimo ničle pod glavno diagonalo matrike $\widetilde A$ . Ta oblika se imenuje vrstična kanonična oblika in ima naslednji lastnosti:

za neko naravno število $r$ je prvih $r$ vrstic matrike $A$ neničelnih, zadnjih $m-r$ vrstic pa vsebuje samo ničle;
v prvih $r$ neničelnih vrsticah imenujemo prvi neničelni element vsake vrstice pivot. Za dve zaporedni vrstici vedno velja, da je pivot v spodnji vrstici bolj desno od pivota v zgornji vrstici.

Primer 5.3: Rešimo naslednji sistem:

$\begin{equation*} \begin{cases} x- y = 7 \\ x + y = 5\\ \end{cases}. \end{equation*}$

Razširjena matrika tega sistema je

$\widetilde A=\begin{pmatrix} 1& -1 &\lvert &7\\ 1& 1& \lvert &5 \end{pmatrix}$ .

Prvi korak: Po potrebi zamenjamo prvo vrstico s kako drugo tako, da v zgornjem levem vogalu dobimo neničelni element (pri računanju peš je najbolje, da je to enica). Temu elementu bomo rekli pivot. V našem primeru je že enica.

Drugi korak: Z uporabo elementarnih vrstičnih operacij naredimo ničle v prvem stolpcu pod pivotom.

$\widetilde A=\begin{pmatrix} \fbox{1}& -1 &\lvert &7\\ 1& 1& \lvert &5 \end{pmatrix}\overset{V_2-V_1}{\sim} \begin{pmatrix} 1& -1 &\lvert &7\\ 0& 2& \lvert &-2 \end{pmatrix}.$

Razširjena matrika ima že vrstično kanonično obliko.

Tretji korak: Zadnji matriki sedaj priredimo nazaj sistem linearnih enačb:

$\begin{equation*} \begin{cases} x- y = 7 \\ 2y = -2\\ \end{cases}. \end{equation*}$

Jasno je, da je $y=-1$ , in potem iz prve enačbe dobimo $x-(-1)=7$ oziroma $x=6$ .

Primer 5.4: Rešimo naslednji sistem:

$\begin{equation*} \begin{cases} 2x+3y+2z = 9 \\ x + 2y -3z= 14\\ 3x+4y+z=16 \end{cases}. \end{equation*}$

Razširjena matrika sistema je $\widetilde A=\begin{pmatrix} 2& 3 & 2&\lvert &9\\ 1& 2 &-3& \lvert &14\\ 3& 4& 1&\lvert &16 \end{pmatrix}$ .

Ker imamo v zgornjem levem vogalu $2$ , zamenjamo prvo vrstico z drugo in dobimo ekvivalentno matriko

$\widetilde A=\begin{pmatrix} \fbox{1}& 2 & -3&\lvert &14\\ 2& 3 &2& \lvert &9\\ 3& 4& 1&\lvert &16 \end{pmatrix}$

in zdaj je pivot $1$ . Z operacijami $V_2-2V_1$ in $V_3-3V_1$ pod pivotom v prvem stolpcu naredimo ničli. Nova matrika je

$\widetilde A=\begin{pmatrix} 1& 2 & -3&\lvert &-14\\ 0& \fbox{-1} &8& \lvert &-19\\ 0& -2& 10&\lvert &-26 \end{pmatrix}.$

Postopek nadaljujemo pri sledečem delu matrike, pri čemer odmislimo prvo vrstico in prvi stolpec. Zdaj je pivot $-1$ in z operacijo $V_3-2V_2$ pod njim naredimo ničlo. Dobimo matriko

$\widetilde A=\begin{pmatrix} 1& 2 & -3&\lvert &14\\ 0& -1 &8& \lvert &-19\\ 0& 0& -6&\lvert &12 \end{pmatrix},$

ki je vrstična kanonična oblika razširjene matrike $\widetilde A$ . Tej matriki sedaj priredimo sistem linearnih enačb:

$\begin{equation*} \begin{cases} x+2y-3z = 14 \\ -y +8z= -19\\ -6z=12 \end{cases}. \end{equation*}$

Iz tretje enačbe sledi, da je $z=-2$ . Vstavimo vrednost neznanke $z$ v drugo vrstico in izračunamo $y$ . Ker je $-y+8\cdot (-2)=-19$ , sledi, da je $y=3$ . Vrednosti neznank $y$ in $z$ vstavimo v prvo vrstico in izračunamo $x$ . To pomeni $x+2\cdot 3-3\cdot (-2)=14$ oziroma $x=2$ .

Splošni algoritem, uporabljen prej, imenujemo Gaussova eliminacijska metoda.

Primer 5.5: Rešimo naslednji sistem:

$\begin{equation*} \begin{cases} 2y+3z = 1 \\ 2x - 6y +7z= 0\\ x-2y+5z=-1 \end{cases}. \end{equation*}$

Z metodo Gaussove eliminacije razširjeno matriko $\widetilde A$ preoblikujemo v vrstično kanonično obliko:

$\widetilde A=\begin{pmatrix} 0& 2& 4 &\lvert &1\\ 2& -6& 7& \lvert &0\\ 1& -2& 5& \lvert& -1 \end{pmatrix}\overset{V_1\leftrightarrow V_3}{\sim} \begin{pmatrix} \fbox{1}& -2& 5 &\lvert &-1\\ 2& -6& 7& \lvert &0\\ 0& 2& 3& \lvert& 1 \end{pmatrix}\overset{V_2-2 V_1}{\sim}$

$\begin{pmatrix} 1& -2& 5 &\lvert &-1\\ 0& \fbox{-2}& 3& \lvert &2\\ 0& 2& 3& \lvert& 1 \end{pmatrix}\overset{V_3+ V_2}{\sim} \begin{pmatrix} 1& -2& 5 &\lvert &-1\\ 0& -2& -3& \lvert &2\\ 0& 0& 0& \lvert& 3 \end{pmatrix}.$

Pripadajoči sistem je

$\begin{equation*} \begin{cases} x-2y+5z = -1 \\ - 2y -3z= 2\\ 0=3 \end{cases}. \end{equation*}$

Zadnja enačba je protislovje, kar pomeni, da sistem ni rešljiv.

Primer 5.6: Rešimo naslednji sistem:

$\begin{equation*} \begin{cases} x+2y-z = 1 \\ x-y+2z=-2 \end{cases}. \end{equation*}$

Z uporabo Gaussove metode preoblikujemo razširjeno matriko sistema v ustrezno obliko:

$\widetilde A=\begin{pmatrix} \fbox{1}& 2& -1 &\lvert &1\\ 1& -1& 2& \lvert &2\end{pmatrix}\overset{V_2- V_1}{\sim} \begin{pmatrix} 1& 2& -1 &\lvert &1\\ 0& -3& 3& \lvert &1 \end{pmatrix}.$

Priredimo sistem linearnih enačb

$\begin{equation*} \begin{cases} x+2y-z = 1 \\ -3y+3z=1 \end{cases}. \end{equation*}$

V zadnji enačbi sta dve neznanki, zato izberemo na primer $z=a$ , kjer je $a$ poljubno realno število. Potem izračunamo $y$ . Iz enačbe $-3y+3a=1$ sledi, da je $y=a-\dfrac{1}{3}$ .
Vrednosti neznank $y$ in $z$ vstavimo v prvo enačbo

$x+2\cdot (a-\frac{1}{3})-a=1$

in izračunamo vrednost neznanke $x$ . Dobimo $x=1+a-2\cdot (a-\dfrac{1}{3})=-a+\dfrac{5}{3}$ .

Ker je neskončno mnogo možnosti za izbor vrednosti parametra $a$ , ima sistem neskončno mnogo rešitev. Recimo, da je sistem neskončno rešljiv.

Rešljivost sistemov
Z uporabo Gaussove eliminacijske metode lahko iz poljubne neničelne matrike $A$ reda $m \times n$ pridobimo vrstično kanonično obliko te matrike. Vsaka matrika ima enolično določeno vrstično kanonično obliko, ki ni odvisna od zaporedja izvedenih elementarnih vrstičnih operacij.

Definicija 5.1: Rang matrike $A$ (oznaka $rang(A)$ ali $r(A)$ ) je maksimalno število neničelnih vrstic, ki jih dobimo z Gaussovo eliminacijsko metodo, oziroma $rang(A)$ je število pivotov v vrstični kanonični obliki matrike $A$ .

Če je $A$ matrika reda $m \times n$ , vselej velja, da je $rang(A) \leq \min\{m,n\}$ .
Če je $A$ matrika reda $n$ , je $rang (A) = n$ natanko tedaj, ko je $det(A) \neq 0$ .

Velja tudi:

$rang (A)= rang (A^T)$ ;
$rang (O_{m\times n})=0$ ;
$rang (I_n)=n$ .

Primer 5.7: Izračunajmo rang matrike

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ -1 & -2 & 1& 0\\ 2 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}.$

Preoblikujemo dano matriko v vrstično kanonično obliko:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ -1 & -2 & 1& 0\\ 2 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \overset{V_2+ V_1}{\underset{V_3-2V_1}{\sim}} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 0 & 4 & 4\\ 0 & -3 & -5 & -4 \end{pmatrix} \overset{V_2\leftrightarrow V_3}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & -3 & -5 & -4\\ 0 & 0 & 4 & 4 \end{pmatrix}.$

Ker dobimo $3$ neničelne vrstice, je $rang(A) = 3.$

Primer 5.8: Izračunajmo rang matrike

$A = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 1 & 1\\ -1 & 1 & -2 & 5\\ -8 & 4 & -2 & -2 \end{pmatrix}.$

Spet z uporabo elementarnih vrstičnih operacij preoblikujemo dano matriko v vrstično kanonično obliko:

$A = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 1 & 1\\ -1 & 1 & -2 & 5\\ -8 & 4 & -2 & -2 \end{pmatrix} \overset{V_1\leftrightarrow V_2}{\underset{V_3:(-2)}{\sim}} \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 & 5\\ 4 & -2 & 1 & 1\\ 4 & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \overset{V_2+ 4V_1}{\underset{V_3-V_2}{\sim}} \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 & 5\\ 0 & 2 & -7 & 21\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

V tem primeru smo dobili dve neničelni vrstici, torej je $rang(A) = 2.$

Zdaj lahko predstavimo splošni izrek za reševanje poljubnega sistema linearnih enačb.

Izrek 5.2 [1,5]: Naj bo $Ax=b$ sistem $m$ linearnih enačb z $n$ neznankami in $\widetilde{A}$ je razširjena matrika tega sistema. Potem velja:

sistem je rešljiv natanko tedaj, ko je $rang(A) = rang(\widetilde A)= r$ ;
sistem je enolično rešljiv natanko tedaj, ko je $r=rang(A) = rang(\widetilde A) = n$ .
sistem ima neskončno rešitev natanko tedaj, ko je $rang(A) = rang(\widetilde A) < n$ .

V zadnjem primeru lahko $k = n - r$ neznank poljubno izberemo kot parametre. Potem je $r$ neznank z njimi natanko določenih. Rečemo tudi, da ima sistem $k$ –parametrično rešitev.

Primer 5.9: Rešite naslednji sistem:

$\begin{equation*} \begin{cases} x_1+ 3x_2 + 5x_3 + 7x_4 + 9x_5 = 1 \\ x_1- 2x_2 + 3x_3 - 4x_4 + 5x_5 = 2 \\ 2x_1+ 11x_2 + 12x_3 + 25x_4 + 22x_5 = 4 \end{cases}. \end{equation*}$

Preoblikujemo razširjeno matriko sistema v vrstično kanonično obliko:

$\widetilde{A} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & \lvert &1\\ 1 & -2 & 3 & -4 & 5 & \lvert & 2\\ 2 & 11 & 12 & 25 & 22 & \lvert & 4 \end{pmatrix} \overset{V_2- V_1}{\underset{V_3-2V_1}{\sim}} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & \lvert &1\\ 0 & -5 & -2 & -11 & -4 & \lvert &1\\ 0 & 5 & 2 & 11 & 4 & \lvert &2 \end{pmatrix} \overset{V_3+ V_2}{\sim}$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 & 9 &\lvert & 1\\ 0 & -5 & -2 & -11 & -4 &\lvert & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lvert &3 \end{pmatrix}.$

Torej, $rang(A) = 2 \neq 3=rang (\tilde{A})$ , kar pomeni, da je sistem nerešljiv.

Izrek 5.3 [1,5]: Za kvadratno matriko $A$ reda $n$ so naslednje trditve ekvivalentne:

$A$ je obrnljiva matrika,
$\det (A)\neq 0$ ,
$rang (A)=n$ ,
sistem linearnih enačb $Ax{=}b$ je enolično rešljiv za vsako desno stran $b$ .

4. Homogeni sistemi

Homogeni sistem je poseben sistem linearnih enačb z ničelno desno stranjo: $Ax=0$ . Za tak sistem vedno velja $rang(A)=rang(\tilde{A}),$ torej je homogeni sistem vedno rešljiv in ima vedno rešitev $x=0$ , ki se imenuje ničelna ali trivialna rešitev.

Če je $rang(A)=n= \mbox{število neznank}$ , potem je rešitev ena sama (tj. ničelna rešitev), in če je $rang(A)<n$ , ima homogeni sistem neskončno rešitev.

Primer 5.10: Rešimo naslednji homogeni sistem:

$\begin{equation*} \begin{cases} x + 2y-5z = 0 \\ -2x - 3y + 6z = 0 \end{cases}. \end{equation*}$

Ker je sistem homogen, je zadnji stolpec pri Gaussovi eliminacijski metodi v razširjeni matriki sistema vseskozi enak $0$ in ga zato kar izpustimo. Matriko sistema preoblikujemo v vrstično kanonično obliko:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 \\ -2 & -3 & 6 \end{pmatrix} \overset{V_2+2V_1}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 \\ 0 & 1 & -4 \end{pmatrix}.$

Opazimo, da je $r=rang(A)=2$ in rešitev je 1-parametrična, ker je $n-r=3-2=1$ . Pripadajoči sistem je

$\begin{cases} x + 2y-5z = 0 \\ y -4z = 0 \end{cases}. \end{equation*}$

Če kot parameter izberemo $z$ , dobimo $y=4z$ in potem $x=5z-2y=-3z.$

Primer 5.11: Rešimo naslednji homogeni sistem:

$\begin{equation*} \begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ -x_1 + 2x_2 + x_4 = 0 \\ 2x_1 - 4x_2 + x_3 = 0 \end{cases}. \end{equation*}$

Matriko sistema preoblikujemo v vrstično kanonično obliko:

$A =\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1\\ -1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & -4 & 1 & 0 \end{pmatrix}\overset{V_2+ V_1}{\underset{V_3-2V_1}{\sim}} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \overset{V_3+ V_2}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

Torej, $r=rang(A) = 2$ in rešitev ima parametra, ker je $n - r = 4-2=2$ . Pripadajoči sistem je

$\begin{cases} x_1 - 2x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ x_3 + 2x_4 = 0 \end{cases}.$

Dobimo $x_3=-2x_4$ in $x_1 = x_4+2x_2$ , kjer sta $x_2$ in $x_4$ poljubni realni števili.

5 Sistemi linearnih enačb

License

Share This Book