Matrike

Irina Cristea; Hashem Bordbar; Alessandro Linzi

1 Matrike

Osnovni pojmi in lastnosti matrik

Definicija 1.1: Matrika velikosti $m \times n$ je tabela realnih (ali kompleksnih) števil, ki se imenujejo členi ali elementi matrike, z $m$ vrsticami in $n$ stolpci. Število vrstic in število stolpcev določata red matrike, to je torej $m\times n$ . Matrike označujemo z velikimi črkami:

$\begin{align*} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}. \end{align*}$

Na kratko bomo zapisali $A=(a_{ij})_{m\times n}=(a_{ij})_{1\leq i\leq m, 1\leq j\leq n}$ . Element matrike $A$ , ki leži v $i$ -ti vrstici in $j$ -tem stolpcu, označimo z $a_{ij}$ . Množico vseh matrik realnih števil z $m$ vrsticami in $n$ stolpci označimo z $\mathbb{R}^{m\times n}$ ali $\mathbb{R}^{(m,n)}$ .

Vrstica je matrika reda $1 \times n$ , na primer $A= \begin{pmatrix} a_1 & a_2& \ldots & a_n\end{pmatrix}$ , medtem ko je stolpec matrika reda $m\times 1$ , $B= \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}$ . Če je $m=n$ , matriko imenujemo kvadratna, saj ima enako število vrstic in stolpcev.

Ničelna matrika $O_{m\times n}$ je matrika, katere členi so vsi enaki $0$ . Identična (enotska) matrika reda $n\times n$ (ali reda $n$ ) je kvadratna matrika, ki ima po diagonali enice, drugod pa ničle. Na primer, identična matrika reda $4$ je matrika

$I_4= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0& 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$

Matriki $A=(a_{ij})_{m\times n}$ in $B=(b_{ij})_{m\times n}$ sta enaki, če sta istega reda in imata enake člene: $a_{ij}=b_{ij}$ , za vsak $i,j$ , $1 \leq i \leq m$ in $1 \leq j \leq n$ .

2. Računske operacije z matrikami

Seštevanje matrik
Naj bosta $A = (a_{ij})_{m\times n}$ in $B = (b_{ij})_{m\times n}$ matriki istega reda $m \times n$ . Če ju seštejemo, dobimo novo matriko $A + B=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}$ , kjer je $(a+b)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ . Vsoto matrik dobimo tako, da seštejemo istoležne elemente matrik. Rezultat je istega reda kot matriki, ki ju seštevamo.

Primer 1.1: Izračunajmo vsoto matrik $A=\begin{pmatrix} 2& 1& 3\\ -1& 3& 0\end{pmatrix}$ in $B=\begin{pmatrix} 1& 0& -1\\ -1& 1& 1\end{pmatrix}$ . Po definiciji dobimo

$A+B=\begin{pmatrix} 2+1& 1+0& 3+(-1)\\ -1+(-1)& 3+1& 0+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3& 1& 2\\ -2& 4& 1\end{pmatrix}.$

Lastnosti seštevanja matrik: Naj bodo $A, B$ in $C$ poljubne matrike reda $m\times n$ . Torej velja:

$A+B = B+A$ (komutativnost);
$(A+B)+C = A+(B+C)$ (asociativnost);
$O_{m \times n} + A = A + O_{m \times n} = A$ , kjer je $O_{m \times n}$ ničelna matrika reda $m \times n$ , ki se imenuje enota za seštevanje;
za vsako matriko $A = (a_{ij})_{m \times n}$ obstaja matrika $-A= (-a_{ij})_{m \times n}$ , tako da je $A + (-A) = O_{m \times n}$ ; matrika $-A$ se imenuje inverz za seštevanje.

Produkt matrik s skalarjem

Produkt matrike $A = (a_{ij})_{m\times n}$ s skalarjem $\alpha$ je matrika

$\alpha\cdot A=(\alpha \cdot (a_{ij}))_{m\times n} = \begin{pmatrix} \alpha\cdot a_{11} & \alpha\cdot a_{12} & \ldots & \alpha\cdot a_{1n}\\ \alpha\cdot a_{21} & \alpha\cdot a_{22} & \ldots & \alpha\cdot a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots\\ \alpha\cdot a_{m1} & \alpha\cdot a_{m2} & \ldots & \alpha\cdot a_{mn} \end{pmatrix}.$

Vsak člen matrike $A$ pomnožimo s številom $\alpha$ . Če je $\alpha=-1$ , pišemo $(-1)\cdot A=-A$ in zato lahko tudi razliko dveh matrik definiramo kot $A+(-B)=A-B$ .

Lastnosti množenja s skalarjem: Naj bosta $A$ in $B$ matriki istega reda ter $\alpha$ in $\beta$ poljubna skalarja. Velja:

$0\cdot A=O_{m\times n}$ ; $\alpha\cdot O_{m\times n}=O_{m\times n}$ ;
$(\alpha+\beta)\cdot A= \alpha \cdot A+\beta\cdot A$ (distributivnost);
$\alpha\cdot (A+B)=\alpha\cdot A+\alpha\cdot B$ (distributivnost);
$(\alpha\cdot\beta)\cdot A=\alpha\cdot (\beta\cdot A)$ ;
$1\cdot A=A$ .

Transponiranje

Naj bo dana matrika $A = (a_{ij})_{m\times n}$ . Definiramo novo matriko $A^T=(a_{ji})_{n\times m}$ , ki se imenuje transponiranka matrike $A$ ali transponirana matrika matrike $A$ . Torej jo dobimo tako, da $j$ -ta vrstica matrike $A$ postane $j$ -ti stolpec matrike $A^T$ oziroma da zamenjamo istoležne vrstice in stolpce.

Primer 1.2: Naj bo $A =\begin{pmatrix} 1& 2& 3\\ 4& 5& 6 \end{pmatrix}_{2 \times 3}$ in $B=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1\\ 5 \end{pmatrix}_{4 \times 1}$ .

S transponiranjem dobimo $A^T = \begin{pmatrix} 1& 4\\ 2& 5\\ 3 & 6 \end{pmatrix}_{3 \times 2}$ in $B^T=\begin{pmatrix} 1&0&-1&5 \end{pmatrix}_{1 \times 4}.$

Lastnosti transponiranja: Naj bosta $A$ in $B$ matriki istega reda ter $\alpha$ skalar. Velja:

$(A^T)^T=A$ ;
$(A+B)^T=A^T+B^T$ ;
$(\alpha\cdot A)^T=\alpha\cdot A^T$ .

Kvadratna matrika $A$ se imenuje simetrična matrika, če velja $A=A^T$ . Ko je $A=-A^T$ , rečemo, da je $A$ poševno simetrična matrika. Trivialen primer simetrične matrike je identična matrika, medtem ko je netrivialen primer naslednja matrika:

$A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 3\\ 0 & -2 & 5\\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}.$

Elementi na diagonali poševno simetrične matrike so vsi enaki nič.

Na primer, matrika $B=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -30\\ -2 & 0 & 6\\ 30 & -6 & 0 \end{pmatrix}$ je poševno simetrična.

Množenje matrik

Definicija 1.2: Naj bosta $A = (a_{ij})_{m\times n}$ in $B = (b_{jk})_{n\times p}$ matriki, za kateri je število stolpcev v $A$ enako številu vrstic v $B$ . Potem definiramo produkt

$A\cdot B=C=(c_{ik})_{m\times p}, ~~c_{ik}=\displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij}\cdot b_{jk}.$

Matriki $A$ in $B$ pomnožimo tako, da pomnožimo $i$ -to vrstico matrike $A$ z $j$ -tim stolpcem matrike $B$ ter produkte posameznih parov seštejemo. Rezultat, tj. matrika $C$ , ima toliko vrstic $m$ kot prva matrika $A$ in toliko stolpcev $p$ kot druga matrika $B$ .

Primer 1.3: Naj bo $A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\ -1 & -2\\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ in $B= \begin{pmatrix} 4 & 5 & 0\\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$ .

Ker ima matrika $A$ dva stolpca, matrika $B$ pa dve vrstici, lahko obe matriki pomnožimo in dobimo:

$A\cdot B=\begin{pmatrix} 2\cdot 4+0\cdot (-1) &2\cdot 5+0\cdot (-2) & 2\cdot 0+0\cdot 3\\ (-1)\cdot 4+(-2)\cdot (-1) & (-1)\cdot 5+ (-2)\cdot (-2) & (-1)\cdot 0+(-2)\cdot 3\\ 3\cdot 4+1\cdot (-1)& 3\cdot 5+1\cdot (-2)& 3\cdot 0+1\cdot 3 \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} 8&10&0\\ -2&-1&-6\\ 11&13&3\end{pmatrix}.$

Ker je število stolpcev matrike $B$ enako številu vrstic matrike $A$ , lahko izračunamo tudi produkt $B\cdot A$ . Dobimo

$B\cdot A=\begin{pmatrix} 4\cdot 2+5\cdot (-1)+0\cdot 3 &4\cdot 0+5\cdot (-2)+0\cdot 1\\ (-1)\cdot 2+(-2)\cdot (-1)+3\cdot 3 & (-1)\cdot 0+ (-2)\cdot (-2)+3\cdot 1 \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} 3&-10\\ 9&7\end{pmatrix}.$

Produkta $A\cdot A$ ne moremo izračunati, ker ima matrika $A$ tri vrstice in samo dva stolpca.

Primer 1.4: Izračunajmo produkt matrik $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ in $B=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -2\\ 3 \end{pmatrix}$ .

Dobimo

$A\cdot B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -2\\ 3 \end{pmatrix} = 13.$

Po množenju matrik $B$ in $A$ pa dobimo

$B\cdot A= \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -2\\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5 & 10 & 15 & 20\\ 1& 2& 3 & 4\\ -2 & -4 & -6 & -8\\ 3 & 6 & 9 & 12 \end{pmatrix}.$

To kaže, da če sta $A\cdot B$ in $B\cdot A$ oba definirana, potem ni nujno, da sta enaka ali da sta istega reda.

Primer 1.5: Rešimo matrično enačbo nad $\mathbb{C}$ :

$\begin{equation*} \begin{pmatrix} i & 0 \\ 1 & -i \end{pmatrix}+ X = \begin{pmatrix} i & 2 \\ 3 & 4+i \end{pmatrix} - X. \end{equation*}$

Najprej opazimo, da je matrika $X$ reda $2 \times 2$ . Enačbo uredimo tako, da neznanko $X$ prenesemo na levo stran:

$2\cdot X=\begin{pmatrix} i & 2 \\ 3 & 4+i \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} i & 0 \\ 1 & -i \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4+2i \end{pmatrix}.$

Iz tega sledi, da je rešitev matrika $X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2+i \end{pmatrix}.$

Lastnosti množenja matrik: Naj bodo dane matrike $A, B$ in $C$ ter skalar $\alpha$ . Potem velja:

$(A\cdot B)\cdot C = A\cdot (B\cdot C)$ (asociativnost).
V splošnem produkt $A\cdot B$ ni enak produktu $B\cdot A$ , tudi če oba produkta obstajata, torej množenje matrik ni komutativno.
Na primer, če je $A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0& 0 \end{pmatrix}$ in $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1& 0 \end{pmatrix}$ , dobimo, da je produkt $A\cdot B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}$ ter $B\cdot A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1& -1 \end{pmatrix}$ .
Poleg tega pri tem primeru opazimo tudi novo lastnost množenja matrik, in to je, da lahko dobimo ničelno matriko, če pomnožimo dve neničelni matriki.
$I_n\cdot A=A\cdot I_n=A$ (identična matrika $I_n$ je enota za množenje matrik).
$(A+B) \cdot C = A \cdot C+ B \cdot C$ (distributivnost).
$\alpha \cdot (A\cdot B) = (\alpha \cdot A)\cdot B =A\cdot (\alpha \cdot B)$ .
$(A\cdot B)^T=B^T\cdot A^T$ .

Primer 1.6: Če sta dani matriki $A=\begin{pmatrix} -2\\ 4\\ 5 \end{pmatrix}$ in $B=\begin{pmatrix} 1&3&-6 \end{pmatrix}$ , preverimo, da velja $(A\cdot B)^T = B^T \cdot A^T$ .

Najprej izračunamo produkt matrik in dobimo

$A\cdot B= \begin{pmatrix} -2\\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -6 & 12\\ 4 & 12 & -24\\ 5 & 15 & -30 \end{pmatrix}.$

Potem, pri izračunu produkta transponirank, dobimo

$B^T\cdot A^T = \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ -6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 4 & 5\\ -6 & 12 & 15\\ 12 & -24 & -30 \end{pmatrix}.$

To pomeni, da je res $(A\cdot B)^T = B^T \cdot A^T$ .

1 Matrike

License

Share This Book