Višji odvodi

Irina Cristea; Hashem Bordbar; Alessandro Linzi

16 Višji odvodi

Odvod odvedljive funkcije $f$ na nekem intervalu je nova funkcija $f'$ , definirana na istem intervalu, ki je lahko odvedljiva ali pa ne.

Definicija 16.1: Naj bo funkcija $f$ na intervalu $I$ odvedljiva in $g$ njen odvod ( $g = f'$ ). Če je funkcija $g$ odvedljiva v točki $x$ , pravimo, da je funkcija $f$ dvakrat odvedljiva v točki $x$ , in to označimo $g'(x) = f''(x)$ . Funkcijo $f''$ imenujemo drugi odvod funkcije $f$ . Če je $f''$ odvedljiva funkcija, odvod drugega odvoda označimo z $f'''$ in ga imenujemo tretji odvod funkcije $f$ in tako naprej. Induktivno definiramo $n$ -ti odvod funkcije $f$ kot odvod $(n-1)$ -tega odvoda:

$f^{(n)}=(f^{(n-1)})', n=1,2,3,\ldots ,$

kjer je ničelni odvod $f^{(0)}=f$ .

Primer 16.1: Izračunajmo prvi, drugi in tretji odvod funkcije $f(x) = \sin^2 x$ .

Ker lahko zapišemo $f(x)= \sin x \cdot \sin x$ , dobimo:
$f'(x) = (\sin x)'\cdot \sin x+ \sin x\cdot (\sin x)'= 2 \cdot \sin x \cdot \cos x = \sin (2x),$
$f''(x) = (\sin(2x))' = \cos (2x) \cdot (2x)' = 2 \cos (2x),$
$f'''(x) = ( 2 \cos(2x) )' = 2 \cdot (- \sin (2x) ) \cdot (2x)' = -4 \sin (2x).$

Primer 16.2: Izračunajmo drugi odvod funkcije $f(x) = x^2 \cdot e^{2x}$ .

Najprej izračunamo prvi odvod dane funkcije:

$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{2x}+ x^2\cdot (e^{2x})'= 2x \cdot e^{2x} + x^2\cdot 2 e^{2x}.$

Drugi odvod je potem odvod prvega odvoda:

$\begin{align*} f''(x) &= (2x)'\cdot e^{2x}+ 2x\cdot (e^{2x})'+ (x^2)'\cdot 2e^{2x}+x^2\cdot (2e^{2x})'\\ &=2 e^{2x} + 2x\cdot 2e^{2x} + 2 x\cdot 2e^{2x} + x^2\cdot 4e^{2x}\\ &= 2 e^{2x} + 8x \cdot e^{2x} + 4x^2 \cdot e^{2x} = (2 + 8x+ 4x^2)\cdot e^{2x}. \end{align*}$