Zveznost

Irina Cristea; Hashem Bordbar; Alessandro Linzi

12 Zveznost

Definicija 12.1: Naj bo $x_0$ poljubna točka intervala $I$ in $f: I \longrightarrow \mathbb{R}$ dana funkcija. Rečemo, da je funkcija $f$ zvezna v točki $x_0$ , če velja:

$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0: \forall x\in I, \lvert x - x_0 \rvert < \delta \Longrightarrow \lvert f(x) - f(x_0) \rvert < \varepsilon.$

Pravimo, da je funkcija zvezna na intervalu $I$ , če je zvezna v vsaki njegovi točki.

Izrek 12.1 [5,9]: Funkcija $f: I \longrightarrow \mathbb{R}$ je v točki $x_0 \in I$ zvezna natanko tedaj, ko je

$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0).$

Primer 12.1: Določimo $a$ in $b$ tako, da bo funkcija $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ , podana s predpisom

$f(x) =\begin{cases} ax^2-3b,&\textup{\v ce je }x>4, \\ 19,&\textup{če je }x=4,\\ 2ax-11b,&\textup{\v ce je }x<4, \end{cases}$

zvezna v točki $x_0 = 4$ .

Izračunamo levo in desno limito dane funkcije v točki $x_0=4$ :

$\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} (ax^2-3b) = 16a-3b,$

$\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} (2ax-11b) = 8a-11b.$

Funkcija $f$ je zvezna v točki $x_0=4$ natanko tedaj, ko je $16a-3b = 8a-11b = 19$ . Torej, $a=1$ in $b=-1$ .

Lastnosti zveznih funkcij

Če sta funkciji $f:I\longrightarrow \mathbb{R}$ in $g:I \longrightarrow \mathbb{R}$ zvezni v točki $x_0\in I$ , so v tej točki zvezne tudi funkcije
$f+g,\quad f-g,\quad f \cdot g,\quad \frac{f}{g}~(\textup{če je }g(x_0) \neq 0).$
Če je funkcija $f$ zvezna v točki $x_0$ in je funkcija $g$ zvezna v točki $f(x_0)$ , torej je tudi funkcija $g\circ f$ , ker je $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ , zvezna v točki $x_0$ .
Vse elementarne funkcije so zvezne:
linearna, potenčna, polinomska, eksponentna, logaritemska ter sinusna in kosinusna funkcija.
Če je $f: [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}$ zvezna funkcija in je $f(a) \cdot f(b) < 0$ , torej ima funkcija $f$ na tem intervalu vsaj eno ničlo.

Slika 12.1: Funkcija ima na intervalu [a, b] eno ničlo (na levi) ali 3 ničle (na desni).

Primer 12.2: Ima polinom $p(x) = 2x^5 - 4x^4 + 7x^2 -3$ na intervalu $[-1,2]$ ničlo?

Polinomska funkcija $p$ je zvezna in $p(-1) = -2-4+7-3 = -2$ ter $p(2) = 64-64+28-3 = 25$ . Ker je $p(-1) \cdot p(2) < 0$ , sledi, da ima $p$ na intervalu $[-1,2]$ eno ničlo.

Primer 12.3: Dokažimo, da ima enačba $x^3-5x+3 =0$ na intervalu $[0,2]$ vsaj dve rešitvi.

Polinomska funkcija $f(x) = x^3 - 5x + 3$ je zvezna in $f(0) = 3, f(2) = 1, f(1) = -1.$

Ker je $f(0) \cdot f(1) < 0$ , sledi, da obstaja $x_0 \in [0,1]$ tako, da je $f(x_0) = 0$ . Podobno velja: ker je $f(1) \cdot f(2) < 0$ , obstaja $x_1 \in [1,2]$ tako, da je $f(x_1) = 0.$ Torej ima dana enačba na intervalu $[0,2]$ vsaj dve rešitvi $x_0$ in $x_1$ .

5. Če je $f: [a,b] \longrightarrow \mathbb{R}$ zvezna funkcija, je na tem intervalu tudi omejena.

Primer 12.4: Zadnja lastnost velja le, če je funkcija $f$ definirana na zaprtem intervalu. Prav zares, funkcija $f:(-1,1)\longrightarrow \mathbb{R}$ , podana s predpisom

$f(x) = \displaystyle\frac{x}{1-x^2} = \frac{x}{(1-x)(1+x)},$

je definirana na odprtem intervalu $(-1,1)$ in tam je zvezna ter navzgor in navzdol neomejena:

$\lim_{x\to-1^+}f(x)=\frac{-1}{2 \cdot 0^+}=-\infty,\quad \lim_{x \to1^-} f(x) = \frac{1}{2 \cdot 0^+} = + \infty.$

Slika 12.2: Graf funkcije $f(x) = \frac{x}{1-x^2}$ na intervalu $(-1, 1)$ .

Slika 12.2: Graf funkcije $f(x) = \frac{x}{1-x^2}$ na intervalu $(-1, 1)$ .

6. Če je $f: [a,b] \longrightarrow\mathbb{R}$ zvezna funkcija ter sta $m = \inf (f)$ (natančna spodnja meja) in $M = \sup (f)$ (natančna zgornja meja), potem obstajata točki $x_m$ in $x_M$ na intervalu $[a,b]$ tako, da je $f(x_m) = m$ in $f(x_M) = M$ .

12 Zveznost

License

Share This Book