Orientacija po nebu

Jure Japelj; Andreja Gomboc

2 Orientacija po nebu

Jure Japelj and Andreja Gomboc

Iskanje telesa na nebu je podobno iskanju mesta na zemljevidu. Večja mesta na že znanem delu zemljevida najdemo brez težav: poiščemo znani vzorec, kot je na primer italijanski škorenj, se po njem orientiramo in najdemo iskani kraj. Podobno nam pri orientaciji po nebu pomagajo znani vzorci svetlih zvezd. Na primer, da želimo poiskati zvezdo Severnico (slika 2.1). Najprej poiščemo Veliki voz, enega izmed najopaznejših vzorcev zvezd (sam Veliki voz ni ozvezdje, pač pa je del ozvezdja Veliki medved). Dolžino prednje stranice približno petkrat podaljšamo navzgor in tako pridemo do repa Malega voza oziroma Severnice. Zvezdnato nebo postane z nekaj izkušnjami tako domače, da se na njem znajdemo brez težav in najdemo iskane zvezde.

Slika 2.1: Zvezdo Severnico najdemo tako, da si pomagamo z Velikim vozom.

Slika 2.2: Najdete Severnico na tej sliki? Pomagajte si s prejšnjo sliko. Avtor: Andrej Guštin

Kaj pa, če želimo opazovati manj znano zvezdo? Ali pa smo odkrili novo supernovo in želimo drugim sporočiti, kje točno je na nebu? V tem primeru je bolj praktično položaj nebesnega telesa opisati s koordinatama. V astronomiji so že vrsto stoletij v uporabi nebesni koordinatni sistemi, s katerimi opisujemo položaj teles na nebu.

Veliki in mali krogi

Planeti, zvezde in galaksije so od nas različno oddaljeni. A vse te razdalje so tako zelo velike, da naš občutek za prostorsko porazdelitev nebesnih teles povsem odpove. Zato si smemo predstavljati, da nebesna telesa ležijo na površini velike (prozorne) sfere, v katere središču smo mi, ki opazujemo. Tej krogli rečemo nebesna sfera ali nebesna krogla.

Položaj telesa na krogli je točka. Točke lahko med seboj povežemo z loki. Loki so deli krogov, ki jih dobimo, če kroglo v mislih prerežemo. To lahko naredimo na dva načina. Če kroglo prerežemo na polovico, dobimo krog z največjim možnim polmerom, ki je enak radiju krogle. Takemu krogu rečemo veliki ali glavni krog. Če kroglo prerežemo tako, da dobimo dva različno velika dela, prerezu ustreza krog s polmerom, manjšim od polmera krogle. Takemu krogu rečemo mali krog. Primer velikega kroga je ekvator na površju Zemlje (slika 2.3 levo). Vsi krogi, ki so vzporedni ekvatorju, so mali.

Levo: sfera, na njej so označeni vzporedniki (preseki sfere s horiznotalnimi ravninami) in poldnevniki (preseki sfere z navpičnimi ravninami). Desno: sfera. Na njej je narisan en veliki krog. Na tem krogu je označen lok, ki ustreza kotu alfa. — Slika 2.3: Prikaz velikih in malih krogov na krogli oziroma sferi.

Veliki ali glavni krogi nam bodo pomagali opisati položaj točke na krogli. A še prej razmislimo, kako opisati razdaljo med dvema točkama na krogli (slika 2.3 desno). Vzemimo veliki krog, ki gre skozi obe točki. Središčni kot, ki ga točki oklepata, naj bo $\alpha$ , polmer krogle naj bo $R$ . V tem primeru je najkrajša razdalja med točkama na površju krogle oziroma dolžina loka enaka $a=\alpha R$ . Razdalja med točkama je torej določena s središčnim kotom. Sedaj moramo samo še izbrati vrednost za $R$ — ker je nebesna krogla zelo velika in ker bi bilo nesmiselno meriti razdalje na nebu v enotah, kot so metri, izberemo kar $R=1$ . Razdalje na nebu tako izražamo s kotom. Na primer, na Zemlji je razdalja med severnim polom in ekvatorjem enaka 90 $\degr$ .

Preden definiramo koordinate na nebesni krogli, poglejmo bolj domače koordinate na zemeljski krogli.

Najkrajša razdalja med dvema mestoma na Zemlji

Najkrajšo razdaljo med dvema točkama na krogli dobimo, če ju povežemo z lokom velikega kroga. Zemlja je okrogla, zato na 2D projekciji, ki se uporablja največ (t. i. Mercatorjevi projekciji), najkrajša razdalja med dvema mestoma ni ravna črta. Na spodnjem zemljevidu rdeči krivulji označujeta najkrajši razdalji med Parizom in New Yorkom in med Cape Townom in Sydneyjem. Zemljevid je bil narisan z orodjem Basemap.

Slika 2.4: Prikaz najkrajše razdalje med dvema krajema na Zemlji.

Koordinatni sistem na Zemlji

Vsak položaj na Zemlji opišemo z dvema koordinatama: zemljepisno širino $\phi$ in zemljepisno dolžino $\lambda$ . Včasih je podana tudi nadmorska višina, a ta za določitev mesta na zemeljskem površju ni potrebna. Tukaj privzamemo, da je Zemlja popolna matematična krogla.

Slika 2.5: Koordinatni sistem na površju Zemlje. Avtor: Djexplo (CC0 1.0)

Zemljepisna širina in dolžina sta razdalji od nekega izbranega velikega kroga. Vprašanje je, kateri krog izberemo za izhodišče. V primeru zemljepisne širine se odgovor ponuja kar sam: Zemljin ekvator (slika 2.5). Ekvator je veliki krog, pravokoten na os vrtenja Zemlje. Mali krogi, ki so ekvatorju vzporedni, so vzporedniki. Točki, kjer os vrtenja prebada Zemljino kroglo — kjer mali krog oziroma vzporednik postane točka — imenujemo Zemljin severni in južni pol.

Sedaj poglejmo družino velikih krogov, ki gredo skozi pola. Te kroge imanujemo poldnevniki, saj povezujejo kraje na Zemlji, ki imajo poldne ob istem času. Zemljepisna širina je razdalja od ekvatorja in je merjena vzdolž poldnevnika. Njene vrednosti so lahko med $-90\degr$ in $+90\degr$ , pri čemer je zemljepisna širina negativna na južni in pozitivna na severni polobli.

Zemljepisna dolžina je razdalja vzdolž ekvatorja od izbranega ničelnega poldnevnika (poldnevnika z zemljepisno dolžino 0 $\degr$ ). V nasprotju z ekvatorjem ni naravnega ničelnega poldnevnika — vsi poldnevniki so enakovredni. Iz zgodovinskih razlogov za ničelni poldnevnik velja poldnevnik, ki poteka skozi Kraljevi observatorij Greenwich v Londonu. Dolžino merimo od vrednosti 0 $\degr$ do 360 $\degr$ , pri čemer dolžina narašča proti vzhodu. Večkrat se uporablja tudi zapis vzhodno ali zahodno od Greenwicha, pri čemer so vrednosti dolžine med $-180\degr$ in $+180\degr$ .

Kot primer poglejmo Zelo velik teleskop (ang. Very Large Telescope) Evropskega južnega observatorija, ki stoji v Čilu. Zemljepisna širina observatorija je $-24\degr$ $37\arcmin$ $38\arcsec$ , kar bi lahko zapisali tudi kot $24\degr$ $37\arcmin$ $38\arcsec$ S, pri čemer S označuje jug (ang. South), saj je observatorij južno od ekvatorja. Zemljepisna dolžina observatorija je $-70\degr$ $24\arcmin$ $15\arcsec$ , kar bi lahko zapisali tudi kot $70\degr$ $24\arcmin$ $15\arcsec$ W, pri čemer W označuje zahod (ang. West), saj je observatorij zahodno od Greenwicha. Ekvivalentno bi lahko dolžino zapisali tudi kot $289\degr$ $35\arcmin$ $45\arcsec.$ Včasih se zemljepisna širina in dolžina podajata tudi v decimalkah stopinje. V decimalnem zapisu sta zemljepisna širina in dolžina observatorija približno $-24,62722\degr$ in $-70,40417\degr$ .

Koordinatni sistem na Zemlji oziroma geografski koordinatni sistem nam pomaga razumeti koordinatni sistem na nebesni krogli. Koordinate na Zemlji so v astronomiji pomembne tudi same po sebi. Od položaja na Zemlji je namreč odvisno, kako je videti nočno nebo v določenem trenutku.

Horizontni koordinatni sistem

Ko se pripravljamo na astronomsko opazovanje z neke točke na Zemljinem površju (opazovališča), nas zanima, kako je videti nebo s te lokacije. Predpostavimo, da našega pogleda ne ovirajo gore, stavbe ali drevesa — da vidimo nebo, kot da smo na otoku sredi oceana. Nad nami se boči polovica nebesne krogle, medtem ko je druga polovica skrita pod tlemi. Obe polovici loči obzorje oziroma horizont (slika 2.6). Matematično gledano je horizont veliki krog.

Slika 2.6: Prikaz horizontnega koordinatnega sistema. Položaj telesa na nebu, na sliki označenega z zvezdico, opišemo z višino na nebu $h$ (ali zenitno razdaljo $z$ ) in azimutom $A$ .

Ozrimo se navpično navzgor. Točko na nebesni krogli točno nad nami imenujemo zenit (tudi nadglavišče). Sedaj se ozrimo navzdol — točko točno pod nami imenujemo nadir (tudi podnožišče). Za orientacijo na horizontu označimo smeri neba, pri čemer običajno uporabljamo angleško notacijo (N za sever, S za jug, E za vzhod in W za zahod).

Postavili smo ogrodje horizontnega koordinatnega sistema. Ta sistem je odvisen od opazovališča (slika 2.7) in ni fiksiran na zvezde, zato se zaradi vrtenja in gibanja Zemlje koordinate zvezd v njem s časom spreminjajo. Ne samo to, položaj iste zvezde je v istem trenutku za opazovalce in opazovalke na različnih krajih Zemlje različen. S katerima koordinatama pa bi v tem sistemu lahko opisali položaj točke (zvezde ali drugega telesa) na nebu?

Slika 2.7: Nebesne krogle različnih opazovališč na Zemlji.

Znova poglejmo sliko 2.6. Nebesno kroglo presekamo z ravnino, na kateri ležita zveznica nadir–zenit in telo. Dobimo veliki krog, ki gre skozi zenit, telo in nadir. Naša prva koordinata bo višina $h$ , to je lok vzdolž tega velikega kroga, od horizonta do telesa. Večkrat srečamo tudi kot med zenitom in telesom, ki mu pravimo zenitna razdalja. Iz slike preberemo, da za višino in zenitno razdaljo nekega telesa vedno velja $h$ + $z = 90\degr$ .

Višina in zenitna razdalja

Kolikšne vrednosti lahko zavzameta višina $h$ in zenitna razdalja $z$ ? Kolikšne so zenitne razdalje teles v zenitu, na obzorju in v nadiru?

V astronomiji je pomemben poseben veliki krog, ki gre skozi zenit, točko točno na jugu obzorja in nadir. Nebesna telesa so v svojem dnevnem navideznem gibanju namreč najviše na nebu ravno takrat, ko prečkajo ta krog. Imenujemo ga krajevni nebesni poldnevnik ali nebesni meridian opazovališča. Nebesni meridian je pravzaprav podaljšek ali projekcija krajevnega poldnevnika na Zemlji na nebesno sfero.

Nebesni meridian nam bo služil kot referenca za merjenje druge koordinate horizontnega sistema. Dolžina loka vzdolž horizonta med nebesnim meridianom in točko, kjer veliki krog skozi telo seka horizont, imenujemo azimut $A$ ^[1] (glej sliko 2.6). Po dogovoru imajo položaji zahodno od nebesnega meridiana azimut med 0 in $180\degr$ , položaji vzhodno od nebesnega meridiana med 0 in $-180\degr$ .

Horizontni koordinatni sistem je uporaben za ugotavljanje časa vzhoda in zahoda nebesnih teles. Če je azimut pozitiven (ali med 0 in $180\degr$ ), potem telo zahaja, če je negativen (ali med 180 in $360\degr$ ), telo vzhaja.

Interaktivno

Horizontni koordinatni sistem je odvisen od opazovališča na Zemlji. Odvisnost raziščite s pomočjo simulacije.

Koordinati v horizontnem sistemu sta višina $h$ in azimut $A$ . Za boljše razumevanje teh dveh koordinat poskusite naslednjo simulacijo. Pozor: v tej simulaciji merijo azimut od severa.

Ekvatorski koordinatni sistem

Horizontni koordinatni sistem je odvisen od opazovališča, zato za številne namene ni najbolj primeren (na primer, če želimo opazovati isto nebesno telo z dveh opazovališč). Poleg tega se koordinati nebesnih teles v njem spreminjajo s časom. Sistem, neodvisen od opazovališča in od časa, je ekvatorski koordinatni sistem. V tem sistemu središče nebesne krogle postavimo v središče Zemlje.

Začnimo graditi ekvatorski sistem z osnovnim opažanjem, da se nebo vrti. Vrtenje je navidezno, saj se v resnici vrti Zemlja; Zemlja se vrti od zahoda proti vzhodu, zato se nebo navidezno vrti v nasprotni smeri, od vzhoda proti zahodu, os vrtenja pa je ista, kot je Zemljina os vrtenja (slika 1.1). Presečišči podaljšane osi vrtenja Zemlje in nebesne krogle sta severni nebesni pol (ki je zelo blizu zvezde Severnice) in južni nebesni pol (v bližini južnega nebesnega pola ni nobene svetle zvezde). Z opazovališč na Zemljini severni polobli vidimo, da zvezde navidezno krožijo okoli severnega pola, z opazovališč na Zemljini južni polobli, da navidezno krožijo okoli južnega nebesnega pola.

Slika 2.8: Prikaz ekvatorskega koordinatnega sistema.

Na sliki 2.7 vidimo različna opazovališča. V opazovališču na Zemljinem severnem polu (zemljepisna širina $\varphi= 90\degr$ ) je severni nebesni pol v zenitu, njegova višina je torej $90\degr$ . Višina severnega pola nad obzorjem je enaka zemljepisni širini tega opazovališča. V opazovališču na Zemljinem ekvatorju ( $\varphi=0\degr$ ) sta oba nebesna pola na obzorju, njuna višina je $0\degr$ . V opazovališču na severni zemljepisni širini $\varphi$ je višina severnega pola nad obzorjem enaka $\varphi$ . V opazovališču na južni zemljepisni širini $\varphi$ je višina južnega pola nad obzorjem enaka $\vert{\varphi}\vert$ .

Nebesna krogla se vrti okoli zveznice severnega in južnega nebesnega pola. Presek nebesne krogle z ravnino skozi njeno središče in pravokotno na zveznico polov (na os vrtenja) ustvari veliki krog: nebesni ekvator. Nebesni ekvator je pravzaprav podaljšek ali projekcija Zemljinega ekvatorja na nebesno kroglo.

Interaktivno

Na sliki 2.7 desno je prikazano, kako je nebesni ekvator orientiran glede na horizont opazovališča na določeni zemljepisni širini. Pretvorbo med obema sistemoma nazorno prikazuje interkativna simulacija.

Ekvatorski koordinatni sistem spoznajmo podrobneje s sliko 2.8. Zvezda se skupaj z nebesno kroglo vrti okoli zveznice med nebesnima poloma; v enem vrtljaju opiše mali krog na krogli, ki je vzporeden nebesnemu ekvatorju in mu pravimo deklinacijski krog. Opisani krog spominja na Zemljine vzporednike. Zato uvedemo koordinato, ki je podobna zemljepisni širini. Kotni razdalji med nebesnim ekvatorjem in tem krogom, po katerem se giblje zvezda, merjeni vzdolž velikega kroga, ki poteka skozi nebesna pola in zvezdo, pravimo deklinacija. Označimo jo z grško črko $\delta$ (ponekod jo označujejo z dec, iz angleškega izraza declination). Deklinacija je neodvisna od opazovališča in od časa.

Deklinacija Severnice

Kolikšne vrednosti lahko zavzame deklinacija? Brez kukanja po katalogih ocenite, kolikšna je deklinacija zvezde Severnice.

Drugo koordinato bomo dobili v dveh korakih. Analogno azimutu pri horizontnem sistemu tukaj vpeljemo koordinato, ki meri kotno razdaljo med nebesnim poldnevnikom in presečiščem nebesnega ekvatorja in velikega kroga, ki gre skozi nebesna pola in zvezdo (slika 2.8) in mu pravimo časovni krog. Tej razdalji pravimo časovni kot $H$ , ker se enakomerno povečuje s časom (saj sledi vrtenju nebesne krogle oziroma vrtenju Zemlje). Vrednosti časovnega kota gredo od 0 do $360\degr$ v 24 urah, kar pomeni, da se vsako uro poveča za $15\degr$ , zato ga pogosto izražamo kar v urah (po pretvorbi, da je 1 $^{h}$ enaka $15\degr$ ). Običajno vrednosti časovnega kota podajamo na intervalu $-180\degr$ do $180\degr$ ali $-12^{h}$ do $12^{h}$ .

Časovni kot je odvisen od opazovališča in časa, mi pa potrebujemo koordinato, ki bo od opazovališča in časa neodvisna. Zagato so rešili z dogovorom, da kota ne merimo od lokalnega nebesnega poldnevnika, temveč od določene točke na nebesnem ekvatorju, ki je ista za vsa opazovališča in ob vseh časih. Kot referenca je bila izbrana točka na nebesnem ekvatorju, kjer je Sonce ob pomladanskem enakonočju. Ta točka se imenuje pomladišče in jo označimo z grško črko $\gamma$ (slika 2.9). Naša prava, od opazovališča neodvisna koordinata, je lok vzdolž nebesnega ekvatorja med pomladiščem in presečiščem nebesnega ekvatorja in časovnega kroga. To koordinato imenujemo rektascenzija in jo običajno označujemo z grško črko $\alpha$ (v nekaterih angleških virih jo označujejo z R.A., kar izhaja iz angleškega izraza zanjo — right ascension).

Slika 2.9: Rektascenzijo $\alpha$ merimo od pomladišča $\gamma$ .

Rektascenzija in deklinacija sta torej koordinati, neodvisni od opazovališča in od časa. V katalogih zvezd in drugih nebesnih teles so njihovi položaji podani z vrednostmi rektascenzije in deklinacije. Za opazovanje s prostim očesom ali ročno vodenim teleskopom sta ti dve koordinati manj praktični od koordinat horizontnega koordinatnega sistema. Pri opazovanju z računalniško vodenim teleskopom pa sta nadvse uporabni.

Koordinatni mreži na nebu

Tako bi bil videti ekvatorski koordinatni sistem na nebu (če bi na njem narisali kroge s konstantnimi deklinacijami in rektascenzijami). Mreža izhaja iz severnega nebesnega pola, ki je zelo blizu Severnice. Krogi označujejo položaje na nebu z isto deklinacijo, črte položaje z isto rektascenzijo. Mreža je narisana s programom Stellarium. Odprite program in tudi vi narišite mrežo nad vašim nebom. Na zaslon dodajte še azimutni koordinatni sistem. Poglejte, kako se s časom spreminja položaj zvezd glede na oba koordinatna sistema.

Slika 2.10: Horizontna in ekvatorska koordinatna mreža v programu Stellarium.

Interaktivno

S pomočjo interaktivne simulacije spoznajte ekvatorski koordinatni sistem.

Merjenje časa

Časovni koti nebesnih teles se spreminjajo premo sorazmerno s časom, zato jih lahko uporabimo za merjenje lokalnega časa. Po dogovoru je krajevni zvezdni čas (tudi siderski čas) časovni kot pomladišča:

(1) $\begin{equation*} t^{*}_{\lambda} = H_{\gamma} \end{equation*}$

Kot je razvidno iz zgornje slike, za vsako nebesno telo ob vsakem času velja:

(2) $\begin{equation*} t^{*}_{\lambda} = H_{\gamma} = \alpha + H \end{equation*}$

Dnevno gibanje nebesnih teles

Poglejmo, kako v horizontnem in ekvatorskem koordinatnem sistemu opišemo gibanje zvezd na nebu zaradi vrtenja Zemlje — v času enega dneva (24 ur). Omejimo se na opazovališča na severni polobli, pri čemer si pomagamo s horizontnim in ekvatorskim sistemom, opisanima zgoraj, in s sliko 2.11. Telo je na nebu najviše, ko prečka nebesni poldnevnik. Takrat je telo v zgornji kulminaciji. Ker je telo na nebesnem poldnevniku, je njegov časovni kot $H = 0$ . Iz enačbe 2 sledi, da je $t^{*}_{\lambda} = \alpha$ : telo kulminira, ko je krajevni zvezdni čas enak njegovi rektascenziji. Zvezde v zgornji kulminaciji so zato primerne za merjenje časa in, kot bomo videli kmalu, položaja na Zemlji, torej dober pripomoček za navigacijo.

Slika 2.11: Dnevno gibanje zvezd na nebesni krogli. Na levi sliki je zvezda v zgornji kulminaciji južno od zenita, na desni severno od zenita.

Skici na sliki 2.11 prikazujeta dva primera zgornje kulminacije zvezde glede na zenit — zvezda kulminira južno ali severno od zenita, kar je odvisno od deklinacije zvezde $\delta$ in zemljepisne širine $\phi$ opazovališča:

$\delta < \phi$ . Zvezda kulminira južno od zenita in ob kulminaciji velja: $A = 0$ , $z_{\rm min} = \varphi - \delta$ , $h_{\rm max} = 90\degr - \varphi + \delta$ .
$\delta > \phi$ . Zvezda kulminira severno od zenita in ob kulminaciji velja: $A = 180\degr$ , $z_{\rm min} = \delta - \varphi$ , $h_{\rm max} = 90\degr - \delta + \varphi$ .

Podobzornice, nadobzornice, vzhajalke

Telo je najvišje na nebu ob zgornji kulminaciji, ko prečka nebesni meridian (smer proti jugu). Takrat je $H = 0^{\rm h}$ in $A = 0\degr$ . Najnižje na nebu je v smeri severa ob spodnji kulminaciji, ko je $H = 12^{\rm h}$ . Takrat je $A = 180\degr$ , zenitna razdalja je največja: $z_{\rm max} = 180\degr - \delta - \varphi$ . Njegova višina nad obzorjem je $h_{\rm min} = \delta + \varphi - 90\degr$ , njen predznak pove ali je telo takrat nad obzorjem ( $h>0$ ), na obzorju ( $h=0\degr$ ) ali pod obzorjem ( $h<0$ ).

Za opazovališče z zemljepisno širino $\phi$ imamo zvezde, ki so:

podobzornice – zvezde, ki v tem opazovališču nikoli ne vzidejo;
nadobzornice ali cirkumpolarne zvezde – zvezde, ki nikoli ne zaidejo;
vzhajalke – zvezde, ki vzidejo in zaidejo.

Slika 2.12: Shematični prikaz zvezde podobzornice, nadobzornice in vzhajalke.

Kakšna mora biti deklinacija zvezde $\delta$ (izražena z $\phi$ ), da je v kraju z zemljepisno širino $\phi$ podobzornica, nadobzornica ali vzhajalka? V pomoč je naslednja ilustracija.

Odgovor

podobzornica: $\delta < \phi - 90\degree$ ,
nadobzornica: $\delta > 90\degree - \phi$ ,
vzhajalka: $-(90\degree - \phi) < \delta < 90\degree - \phi$

Letno spreminjanje neba

Katere zvezde so vidne na nočnem nebu, je odvisno od položaja Zemlje glede na Sonce (slika 2.13). Sonce oddaja veliko svetlobe, ki se siplje na molekulah in delcih Zemljinega ozračja. Posledično je čez dan nebo tako svetlo, da šibkih nebesnih teles na njem ne vidimo. Zato zvezd, ki so nad obzorjem podnevi, ne vidimo. Vidimo le tiste zvezde, ki so nad obzorjem opazovališča ponoči.

Slika 2.13: Katere zvezde so vidne ponoči je odvisno od položaja Zemlje glede na Sonce.

Z gibanjem Zemlje okoli Sonca se spreminja smer proti Soncu, kar je posledica razlike med vrtilno dobo Zemlje glede na oddaljene zvezde in glede na Sonce (več o tem v poglavju Sonce in merjenje časa). S tem se menjajo tudi zvezde, ki so na nebu v Sončevi bližini (a so v resnici daleč za njim, slika 2.14). Teh zvezd v tem delu leta na nočnem nebu ne vidimo, saj so nad obzorjem podnevi (tako kot Sonce). Tako pri nas v zimskih mesecih lahko občudujemo ozvezdje Orion, v poletnih mesecih ozvezdje Škorpijon. Ozvezdja, ki so na nebu daleč od ravnine, po kateri se navidezno giblje Sonce (imenovane ekliptika), so vidna skozi vse leto, na primer, Veliki Medved.

Slika 2.14: Orientacija Zemljine osi v razmiku pol leta.

Interaktivno

Sonce se skozi leto navidezno premika med zvezdami. Potuje preko ozvezdij živalskega kroga oziroma zodiaka: Ribi, Oven, Bik, Dvojčka, Rak, Lev, Devica, Tehtnica, škorpijon, Kačenosec, Strelec, Kozorog in Vodnar. To pot si lahko pogledate tudi s pomočjo simulacije.

*Trikotniki na sferi

Če pozorno pogledamo zgornje skice, opazimo, da sekanje velikih krogov na sferi vodi do sfernih trikotnikov. Ti trikotniki so uporabni, saj tako kot za navadne, ravninske trikotnike zanje veljata kosinusni in sinusni izrek, le da sta nekoliko drugačna.

Sferni trikotnik opisujejo tri oglišča $A, B$ in $C$ , njim nasproti ležeče stranice $a,~b,$ in $c$ , ki so loki glavnih krogov, in koti med stranicami $\alpha,~\beta$ in $\gamma$ . Tako koti kot stranice naj so manjši ali kvečjemu enaki $180\degr$ . V nasprotju z ravninskim trikotnikom je vsota vseh kotov sfernega trikotnika $\alpha + \beta + \gamma > 180\degree$ .

Kosinusni izrek povezuje dolžino ene stranice z dolžinama drugih dveh stranic in kotom med njima. Za sferni trikotnik je kosinusni izrek:

(3) $\begin{eqnarray*} \cos a &=& \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \\ \cos b &=& \cos c \cdot \cos a + \sin c \cdot \sin a \cdot \cos \beta \\ \cos c &=& \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b \cdot \cos \gamma \end{eqnarray*}$

Sinusni izrek povezuje kote in njim nasproti ležeče stranice. Za sferni trikotnik je sinusni izrek:

(4) $\begin{equation*} {{\sin \alpha}\over {\sin a}} = {{\sin \beta}\over {\sin b}} = {{\sin \gamma}\over {\sin c}} \end{equation*}$

Za trikotnike na nebesni sferi lahko iz znanih vrednosti določenih kotov in stranic z uporabo kosinusnega in sinusnega izreka izračunamo neznane kote in stranice.

Najkrajša razdalja med dvema točkama na Zemlji

Omenili smo, da najkrajša razdalja med dvema točkama na Zemlji poteka vzdolž velikega kroga. Recimo, da letalo želi poleteti iz Madrida ( $\lambda = 3.68\degr$ W, $\phi = 40.4\degr$ N) v New York ( $\lambda = 74.00\degr$ W, $\phi = 40.7\degr$ N). Privzemimo, da je Zemlja popolna krogla s polmerom $R_{\rm Z} = 6400$ km.

1. Kolikšna je najkrajša razdalja med tema mestoma? Pomagajte si s skico in z uporabo kosinusnega izreka za sferni trikotnik.

Odgovor

51.9 $\degr$ oziroma 5800 km

2. Mesti ležita skoraj na isti zemljepisni širini. Privzemimo, da ležita na isti širini. Kolikšna je v tem primeru razdalja med njima, merjena vzdolž vzporednika?

Odgovor

5960 km

Slika 2.16: K računanju razdalje med dvema točkama na nebu.

Pogosto nas zanima, kolikšna je kotna razdalja $l$ med dvema telesoma na nebu. Prvo telo naj ima koordinate $\alpha_{\rm 1}$ in $\delta_{\rm 1}$ , drugo $\alpha_{\rm 2}$ in $\delta_{\rm 2}$ . Uporabimo kosinusni izrek in dobimo

(5) $\begin{equation*} $\cos l = \cos (90\degr - \delta_{\rm 1})\cos (90\degr - \delta_{\rm 2})$ + \sin (90\degr - \delta_{\rm 1})\sin (90\degr - \delta_{\rm 2})\cos (\alpha_{\rm 2} - \alpha_{\rm 1}) \end{equation*}$

Upoštevamo, da velja $\cos(90\degr - x) = \sin(x)$ in $\sin(90\degr - x) = \cos (x)$ . Enačba se skrajša v

(6) $\begin{equation*} \cos l = \sin{\delta_{\rm 1}}\sin{\delta_{\rm 2}} + \cos{\delta_{\rm 1}}\cos{\delta_{\rm 2}} \cos (\alpha_{\rm 2} - \alpha_{\rm 1}) \end{equation*}$

V primeru majhnih razdalj je možno izraz še dodatno poenostaviti. V tem primeru zapišemo koordinate kot $\alpha_{\rm 2} = \alpha_{\rm 1} + \Delta \alpha$ in $\delta_{\rm 2} = \delta_{\rm 1} + \Delta \delta$ , kjer sta $\Delta \alpha$ in $\Delta \delta$ majhni spremembi. Vstavimo v enačbo 6. Upoštevamo, da za majhne kote $x$ velja $\sin(x) \approx x$ in $\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ in dobimo enačbo: